【正文】 在右 (左 )邊乘一個 矩陣 A,等同于對 A作一次相應的初等列 (行 )變換 . 三 .可逆矩陣的充分必要條件 n階矩陣 A 可逆 ?A 的行列式 |A|?0 ? r(A)=n ? AX=0只有零解 (AX=?有唯一解 ) ?0不是 A 的特征值 . AcE 可逆 ?c不是 A的特征值 . 例 7 設 n階矩陣 A,B滿足 AB=aA+ ab?0,證明 (1) AbE 和 BaE都可逆 . (2) AB=BA. 新東方在線 [] 網絡課堂電子教材系列 4 例 8 設 A,B 都是 n階矩陣 ,c不是 0,證明 cEAB可逆 ? cEBA可逆 . 例 9 已知 n階矩陣 A 滿足 A3=E. (1)證明 A22A3E可逆 . (2)證明 A2+A+2E可逆 . 例 10 設 A,B 都是 n階矩陣 ,并且 A可逆 ,證明 : 矩陣方程 AX=B和 XA=B同解 ? AB=BA. 例 11已知 A,B都是 n階矩陣使得 A+B可逆 . (1) 在 AB=BA的條件下證明 B(A+B)1A=A(A+B)1B. (2) 在 A,B 都可逆的條件下證明 B(A+B)1A=A(A+B)1B. (3) 證明 B(A+B)1A=A(A+B)1B的成立不要任何條件 . 第二部分 (主題篇 ) 向量組和線性 方程組 ? (本部分是考試的重點和難點 ??一．向量組的線性關系 ,秩 本部分是的特點是概念性強 ,抽象 ,因此是最 難的部分 ,但又是全課程的理論基礎 ,理論制高點 ,也是考試的重點之所在 . 基本概念有 :線性表示 ,線性相關性 , 向量組的極大無關組和秩 ,矩陣的秩 . 秩是起到關鍵性作用的量 ,它既有用 ,又好算 ,應該充分注意它的應用 . 1. 線性表示 線性表示有 3類 : (1)向量 ?可用 ?1,?2,… ,?s 線性表示 (記作 ???1,?2,… ,?s ),即 n維向量 ?是 ?1,?2, ? ,?s的一個線性組合 . 其重要性在于和 線性方程組有沒有解的關系 :“ ?是否可以用 ?1,??2,? ,?s線性表示 ? 表示方式是否唯一？ ” 也就是“ 線性方程組 AX=?是否有解？解是否唯一？ ”其中A=(?1,??2,? ,?s?). (2)??1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s線性表示 (記作 ?1,?2,? ,?t??1,?2,… ,?s ),即每個 ?i?都可以 用 ?1,?2,? ,?s線性表示 .?????? (3) 向量組 ?1,?2,? ,?s?和 ?1,?2,? ,?t等 價 ,即它們互相都可以表示 ,記作??1,?2,? ,?s?????1,?2,? ,?t?. 線性表示的判斷 :?(1)??可用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ?r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s). (事實上若 ?不可用 ?1,?2,? ,?s??線性表示 ,則 r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s)+1.) (2)?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ???r(?1,?2,? ,?s,?1,?2,? ,?t)=r(?1,?2,? ,?s). 從而有 r(?1,?2,? ,?t)?r(?1,??2,? ,?s?). (3)??1,?2,? ,?s和 ?1,?2,? ,?t等價 ?? r(?1,?2,? ,?s)= r(?1,?2,? ,?s,??1,?2,? ,?t)= r(?1,?2,? ,?t).? ?例 12設 ?1=(1,2,0,1) , ?2 =(1,1,1,0), ?3=(0,1,a,1),?1=(1,0,1,0),?2=(0,1,0,2).a 和k取什么值時 ,??1+k?2可用 ?1,?2,?3線性表示 ? 新東方在線 [] 網絡課堂電子教材系列 5 例 13設 ??1=(1,1,0,1)T,?2=(0,2,1,1)T是 齊次方程組 AX=?的基礎解系 ,要讓 4維向量?=(c1,c2,c3,c4)T是 AX=?的解 , c1,c2,c3,c4應該滿足什么條件 ? 例 14 給定向量組 (Ⅰ )??1=(1,0,2)， ?2=(1,1,3)， ?3=(1,1,a+2)和 (Ⅱ )?1=(1,2, a+3)，?2=( 2,1 ,a+6)， ?3=(2,1,a+4)．當 a為何值時 (Ⅰ )和 (Ⅱ )等價 ? a為何值時 (Ⅰ )和 (Ⅱ )不等價 ?(03四 ) 例 15求常數 a,使得向量組 ?1=(1,1,a),?2=(1,a,1),?3=(a,1,1)可由向量組 ?1=(1,1,a), ?2=(2,a,4),?3=(2,a,a)線性表示 ,但是 ?1,??2,??3不可用 ?1,?2,?3線性表示 . (20xx年數學二 ) 例 16 設 (Ⅰ )和 (Ⅱ )是 兩個四元齊次線性方程組 , (1,0,1,1)T,(1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是(Ⅰ )的一個基礎解系 ,(0,1,0,1)T,(1,1,1,0)T是 (Ⅱ ) 的一個基礎解系．求它們的公共解． 例 17 設 A 是 m?n矩陣 , C 是 m?s矩陣 .證明矩陣方程 AX=C 有解 ?r(A|C)=r(A). 2. 向量組的線性相關性 (1)定義和意義 定義 設 ?1,?2,? ,?s?是 n維向量組 ,如果存在不全為 0的一組數 c1,c2,? ,cs使得 c1?1+c2?2+? +cs?s=0, 則說 ?1,?2,? ,?s?線性相關 ,否則 (即要使得 c1?1+c2?2+? +cs?s=0,必須 c1,c2,? ,cs全為 0)就說它們 線性無關 . 和齊次線性方程組的關系 “ ?1,?2,? ,?s?線性相關還是無關”也就是“向量方程 x1?1+ x2?2+? +xs?s=0 有沒有非零解” ,也就是“齊次線性方程組 AX=0 有沒有非零解 .“ 意義 在 s1時 ,線性無關就是每個 ??I都不能 用其它 向量線性表示 。 線性相關就是有向量(不必每個 )可以用其它向量線性表示 . (2) 線性相關性的判別 : ① 當向量的個數 s大于維數 n時 ,??1,??2,? ,?s?一定線性相關 . 如果向量的個數 s等于維數 n,則 ??1,??2,? ,?n線性相關 ?|??1,??2,? ,?n|=0. ② 線性無關向量組的每個部分組都無關 . ③ 如果 ?1,?2,? ,?s?線性無關 ,?則 ??1,?2,? ,?s?,?線性無關 ??不能用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 . ④ 如果 ?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示，并且 ts,則 ?1,?2,? ,?t線性相關 . ⑤ ?1,?2,? ,?s?線性無關 ? r(?1,?2,? ,?s)=s. 有時還要用定義 ,例如要證明 ?1,?2,? ,?s?線性無關 , 就要說明從 c1?1+c2?2+? +cs?s=0 可推出 c1,c2,? ,cs全為