【正文】 1f(x1,x2,x3)=2x1+8x2+x3+2ax1x2222正定，=(1,1,1),b=(1,0,1)，且A=230。2231。A=0231。231。2232。 0301246。230。1247。231。0B=0247。231。247。231。02248。232。0100246。247。0247。0247。248。+2B=BA+2X，求X．四、解答下列各題（每小題14分，共28分）236。2x1+3x2+3x3=a236。x1+x2+x3=1237。237。3x+4x2+(a+2)x3=a+1x+2x+ax=，f(x1,x2,x3)=XAX=x1+x3+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)a=(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經(jīng)正交變換所得的標準型，（每小題4分，共12分）,a2,at是線性方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系，向量b滿足Ab=b185。,a2,at,，問B=A+A+E可否對角化？ =O與AAx=O的解相同.第三篇：線性代數(shù) 試卷浙江大學20082009學年秋冬學期 《線性代數(shù)I》課程期末考試試卷及參考答案236。2x1239。1．解線性方程組237。x1239。x238。15x22x24x2+4x3+x3+6x3+x4x4+2x4x5+x5x5=3=5。=10解：略。2．線性變換T:161。2174。161。2的定義是T(x,y)=(3xy,x+3y).設(shè)B={(1,1),(1,1)},B162。={(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B162。是161。2的兩組基。（b）給出T關(guān)于基B的矩陣表示A和T關(guān)于基B162。的矩陣表示A162。（c）求矩陣Q使A162。=Q1AQ。（a）證明：先證明B線性無關(guān)（略）。因為B所含的向量個數(shù)=2=dim161。2，所以B是161。2的一組基。B162。類似可證。（b）解：由定義即可（略）。（c）解：矩陣Q是基B到基B162。的過渡矩陣，由定義求之即可。230。00231。231。103．設(shè)矩陣A=231。01231。M231。M231。00232。n179。2。解：0La1246。247。0L0a2247。0L0a3247。求行列式A+tI，其中I是n階單位陣，247。MMM247。0L1an247。248。0t1A+tI=0M0000tM0000L0LM0L000Mta1a2a3M1tLan10L1t+an0L000Mtn+antn1+L+a2t+a1tn1+antn2+L+a3t+a2tn2+antn3+L+a4t+a3Mt2+ant+an1t+anRn1+tRn100LRn2+tRn1010LLLR1+tR2M00M00M0L00L1=tn+antn1+L+a2t+a14．令V為由全部在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)的實函數(shù)構(gòu)成的集合，即V={f:[0,1]174。161。|f連續(xù)}（a）給出V的向量加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)=242。f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。01（a）解：對f,g206。V,l206。161。，定義f+g:[0,1]174。161。f(x)+g(x)，161。lf:xa[0,1]174。xal(f(x))驗證上面定義的加法和數(shù)乘法使V成為線性空間。（b）證明：對f,g,h206。V,l206。161。，有(f,g)=242。f(x)g(x)dx=242。g(x)f(x)dx=(g,f)。0011(lf,g)=242。lf(x)g(x)dx=l242。f(x)g(x)dx=l(f,g)。0011(f+g,h)=242。(f(x)+g(x))h(x)dx=242。f(x)h(x)dx+242。g(x)h(x)dx=(f,h)+(g,h)。000111(f,f)=242。f2(x)dx179。001所以(f,g)=242。f(x)g(x)dx是V的內(nèi)積。015．設(shè)映射D:161。[x]5174。161。[x]5用D(f)=f162。來定義，其中f162。是f的導數(shù)。（a）證明D是線性變換。（b）給出D的核，他的一組基和維數(shù)。（c）給出D的像，他的一組基和維數(shù)。（a）證明：對f=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,g=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4206。161。[x]5,l206。161。，有D(f+g)=D((a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+(a3+b3)x3+(a4+b4)x4)=(a1+b1)+2(a2+b2)x+3(a3+b3)x2+4(a4+b4)x3=D(f)+D(g),D(lf)=D(la0+la1x+la2x+la3x+la4x)=la1+2la2x+3la3x2+4la4x3=lD(f)所以D是線性變換。234（b）D的核kerD=161。，f=1是他的一組基，他的維數(shù)dimkerD=1。（c）D的像ImD=161。[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數(shù)dimImD=4。230。112246。231。247。6．判斷實矩陣A=231。121247。是否可對角化。若A可對角化，求矩陣Q使Q1AQ231。013247。232。248。是對角矩陣D，并給出矩陣Q1和D。解：略。27．實二次型f:161。2174。161。的定義是f(x1,x2)=2x12+5x2+4x1x2。（a）給出對應于f的實對稱矩陣A。（b）給出A在相合（即合同）意義下的標準形（或規(guī)范形）。（c）給出f的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)，并判斷f是否正定或者負定。解：略。8．設(shè)l,m是線性變換T:V174。V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于l和m的特征向量。如果av+bw是T的特征向量，證明a=0或者b=0。證明：因為av+bw是T的特征向量，所以存在T的特征值k使得T(av+bw)=k(av+bw)。因為v和w分別是屬于l和m的特征向量，所以kav+kbw=T(av+bw)=aT(v)+bT(w)=alv+blw，即a(kl)v+b(kl)w=0。因為l,m是線性變換T:V174。V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于l和m的特征向量，所以v,w線性無關(guān)。所以a(kl)=0,b(kl)=0。如果a185。0，則有l(wèi)=k。因為l,m互異，所以km185。0，進而b=0。所以有a=0或者b=0。9．證明或舉反例否定下面命題。V)dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V174。W