【文章內(nèi)容簡介】 0. 例 18 已知非齊次 方程組 AX=?有解 ,證明它的解集合的秩 = nr(A)+1. 例 19 設(shè) ?1,?2,? ,?s和 ?1,?2,? ,?t都是線性無關(guān)的 n維向量組 ,證明 ?1,?2,? ,?s,?1, ?2,? ,?t線性相關(guān) ?存在非零向量 ?,它既可用 ?1,?2,? ,?s線性表示 ,又可用 ?1,?2,? ,?t線性表示 . 例 20 設(shè) ?1,?2,? ,?s,?1,?2,? ,?t線性無關(guān) ,其中 ?1,?2,? ,?s是齊次方程組 AX=?的基礎(chǔ)解系 .證明 A?1,A?2,? ,A?t線性無關(guān) . 秩是向量組內(nèi)在線性性質(zhì)的定量研究 .它是刻畫向量組相關(guān)“程度 ” 的一個數(shù)量概念 .它表明向量組可以有多大 (指包含向量的個數(shù) )的線性無關(guān)的部分組 . 定義 設(shè) ?1,?2,? ,?s?是 n維向量組 ,(I)是它的一個部分組 .如果 ① (I)?線性無關(guān) . ② (I)?再擴(kuò)大就線性相關(guān) . 就稱 (I)為 ?1,?2,? ,?s?的一個 極大無關(guān)組 . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 6 極大無關(guān)組中所包含向量的個數(shù)稱為 ?1,?2,? ,?s?的 秩 ,記作 r(?1,?2,? ,?s). 如果 ?1,?2,? ,?s?全是零向量 ?此時極大無關(guān)組不存在 ?,則規(guī)定 r(?1,?2,? ,?s)=0. 于是 ,0?r(?1,?2,? ,?s)?個數(shù) s,維數(shù) n. 由定義得出 : 如果 r(?1,?2,? ,?s)=k,則 ① ????1,?2,? ,?s?的一個部分組如果含有多于 k個向量 ,則它一定的相關(guān) . ② ??1,?2,? ,?s?的每個含有 k個向量的線性無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組 . 求 ??1,?2,? ,?s?的極大無關(guān)組的方法 : 作矩陣 A=(?1,?2,? ,?s), 用初等 行 變換把 A化為階梯形矩陣 B,則 B的列向量組和 ?1,?2,? ,?s?有相同的線性關(guān)系 ,從而對應(yīng)的部分組有一致的相關(guān)性 ,極大無關(guān)相對應(yīng) .于是 B的臺角的列號對應(yīng)的 ??1,?2,? ,?s?的部分組是一個極大無關(guān)組 . 例 21設(shè) ??1=(1,1,2,4),?2=(0,3,1,2),?3=(3,0,7,14),?4=(1,2,2,0),?5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中 ,是極大無關(guān)組的有哪幾個 ? (1)??1,?2,?3. (2)??1,?2,?4. (3)??1,?2,?5. (4)??1,?3,?4. (1) 定義 矩陣 A 的秩 r(A)就是它的行向量組的秩 ,也就是列向量組的秩 . r(A)也就是 A的非 0子式的階數(shù)的最大值 .(即 A 的每個階數(shù)大于 r(A)的子式的值都為 0,但是 A 有階數(shù)等于 r(A)的非 0子式 .) 如果 A 是 m?n矩陣 ,則 0?r(A)?Min{m,n}. r(A)=0? A=0. 當(dāng) r(A)=m時 ,稱 A為行滿秩的 。 當(dāng) r(A)=n時 ,稱 A為列滿秩的 . 對于 n階矩陣 A,則行滿秩和列滿秩是一樣的 ,此時就稱 A滿秩 .于是 : n階矩陣 A 滿秩 ?r(A)=n(即 A的行 (列 )向量組無關(guān) )?|A|?0?A可逆 . (2)性質(zhì) ① r(A T)=r(A). ② 如果 c不為 0,則 r(cA)=r(A). ③ r(A?B)?r(A)+r(B). ④ r(AB)?Min{r(A),r(B)}. ⑤ 當(dāng) A(或 B)可逆時 ,r(AB)=r(B)(或 r(A)). ⑥ 如果 AB=0,n為 A的列數(shù) (B的行數(shù) ),則 r(A)+r(B)?n. ⑦ 如果 A 列滿秩 (r(A)等于列數(shù) ),則 r(AB)=r(B). 例 22 設(shè) A 是 n階矩陣 .證明 ??1)(Ar 存在 n維非零列向量 ? 和 ? ,使得 TA ??? 例 23 3階矩陣?????????????1232023baA ， ?????????????12001111 abB ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b和r(AB). 例 24設(shè) A是 n階矩陣 , s??? ，， ?21 是一組 n維向量 , ii A?? ? , i=1,2， ? , : (1) )(),( 2121 ss rr ?????? ，， ?? ?. (2???如果 A可逆 ,則 ),()( 2121 ss rr ?????? ?? ?，， . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 7 例 25 設(shè) ? s??? ，， ?21 是齊次方程組 0?AX 的基礎(chǔ)解系 , ,211 ??? t?? ? 111322 , ????????? ttt sssss ?????? ???.t取什么值時 s??? , 21 ? 也是 0?AX 的基礎(chǔ)解系 ? 二 . 線性方 程組解 線性方程組是課程的最主要部分 ,是考試的最大重點 ,但是考點很集中 (解的情況的判別和通解的計算 ),有關(guān)的結(jié)論又十分明確 .但是近年來考題的發(fā)展趨勢應(yīng)該重視：考試重點轉(zhuǎn)向概念化 ,考題漸漸脫離傳統(tǒng)題型 ,出現(xiàn)許多有新意的題 . 1. 線性方程組解的情況的判別 (1) 對于方程組 ??AX ,判別其解的情況用三個數(shù) :未知數(shù)的個數(shù) )|(),(, ?ArArn . ① 無解 )|()( ?ArAr ?? . ② 有唯一解 nArAr ??? )|()( ? (當(dāng) A 是方陣時 ,就推出克萊姆法則 .) ③ 有無窮多解 nArAr ??? )|()( ?. 方程的個數(shù) m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn) ,但它是 )(Ar 和 )|( ?Ar 的上界 ,因此 當(dāng) mAr ?)( 時 , ??AX 一定有解 . 當(dāng) mn時 ,一定不是唯一解 . (2) 對于齊次方程組 0?AX ,判別解的情況用兩個數(shù) : n, )(Ar . 有非零解 nAr ?? )( (即 :只有零解 nAr ?? )( ). 2. 基礎(chǔ)解系和通解 (1) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 如果齊次方程組 0?AX 有非零解 ,則它的解集 (全部解的集合 )是無窮集 ,稱解集的每個極大無關(guān)組為 0?AX 的 基礎(chǔ)解系 . 于是 , 當(dāng) s??? ，， ?21 是 0?AX 的基礎(chǔ)解系時 : 向量 ? 是 0?AX 的解 ?? 可用 s??? ，， ?21 線性表示 . 定理 設(shè) 0?AX 有 n個未知數(shù) ,則它的基礎(chǔ)解系中包含解的個數(shù) (即解集的秩 )=nr(A ). 于是 ,判別一組向量 s??? ，， ?21 是 0?AX 的基礎(chǔ)解系的條件為 ① s??? ，， ?21 是 0?AX 的一組解 . ② s??? ，， ?21 線性無關(guān) . ③ s=nr(A ). (2) 通解 當(dāng) s??? ，， ?21 是 0?AX 的基礎(chǔ)解系時 , 0?AX 的通解為 :