【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 意常數(shù). 【注意】 (1)求矩陣的秩時(shí)不要?jiǎng)硬粍?dòng)就是初等行變換,如果變換很繁,(1)。 (2)已知方程組的特解求其通解時(shí),第一感應(yīng)該是利用解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)去解決。(特別是方程組含參數(shù)時(shí)).切記切記. 51.(1994—Ⅳ,Ⅴ)設(shè)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,求和應(yīng)滿足的條件. 【考點(diǎn)】特征值與特征向量. 解 .對(duì)于二重特征值應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則. 【注意】 (1)此類問(wèn)題的理論根據(jù)是:重特征值有重?cái)?shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,即設(shè)為階矩陣的重特征值,最后轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的矩陣的秩的討論. (2)矩陣能對(duì)角化(與對(duì)角矩陣相似)的重特征值有重?cái)?shù)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. (3)本題的等價(jià)問(wèn)題是:設(shè)能對(duì)角化(與對(duì)角矩陣相似) ,求和應(yīng)滿足的條件. 52.(1994—Ⅴ)也是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 【考點(diǎn)】基礎(chǔ)解系的概念. 證 ,. 而,即線性無(wú)關(guān). 【注意】要證明為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,必須說(shuō)明: (1)是的解。 (2)齊次線性方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)。 (3)線性無(wú)關(guān). 53.(1995—Ⅰ,Ⅱ)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,對(duì)應(yīng)于的特征向量為,求. 【考點(diǎn)】實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化理論. 解 設(shè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為,則與正交,即,則,故 . 【注意】此類問(wèn)題為已知矩陣的特征值和特征向量,: (1)已知矩陣的全部特征值和全部線性無(wú)關(guān)的特征向量,只能由求。(見(jiàn)本題解法) (2)已知矩陣的全部特征值和部分線性無(wú)關(guān)的特征向量,(利用實(shí)對(duì)稱矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交),可以兩種方法處理: ①同(1).由求.(此時(shí)需求逆矩陣) ②求出的全部?jī)蓛烧磺覇挝换奶卣飨蛄?.(此時(shí)不需要求逆矩陣,但多了向量組的正交單位化過(guò)程) ③建議讀者用方法①,以便統(tǒng)一處理這類問(wèn)題. 54.(1995—Ⅰ,Ⅱ)設(shè)是階矩陣,滿足(是階單位矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣),求. 【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算性質(zhì). 解 . 55.(1995—Ⅳ)已知向量組。,:向量組的秩為4. 【考點(diǎn)】向量組線性相關(guān)的性質(zhì)。向量組秩的計(jì)算. 解 方法一:要證向量組的秩為4,等價(jià)于證明線性無(wú)關(guān). 由,得線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,即存在,則線性無(wú)關(guān),故,則線性無(wú)關(guān),所以向量組的秩為4. 方法二:由,得線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,即存在, 所以. 56.(1995—Ⅳ)已知二次型. （1）寫出二次型的矩陣表達(dá)式。 （2）用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出相應(yīng)的正交矩陣. 【考點(diǎn)】二次型的矩陣。用正交變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法. 解 (1) 二次型的矩陣,則二次型的矩陣表達(dá)式. (2)的特征多項(xiàng)式,則的特征值. 對(duì)應(yīng)的正交單位化特征向量。 對(duì)應(yīng)的正交單位化特征向量。 對(duì)應(yīng)的正交單位化特征向量. 令正交矩陣,所求正交變換,二次型的標(biāo)準(zhǔn)型. 57.(1995—Ⅴ)對(duì)于線性方程組 討論取何值時(shí),方程組無(wú)解,試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的線性方程組解的討論. 解 方法一(一般情形): (1)方程組有惟一解且。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且 則方程組的通解其中為任意常數(shù)。 (3)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解. 方法二(特殊情形):方程組的系數(shù)行列式. (1)當(dāng),即且時(shí)方程組有惟一解。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且 則方程組的通解其中為任意常數(shù)。 (3)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解. 58.(1995—Ⅴ)設(shè)三階矩陣滿足 ,. 【考點(diǎn)】已知矩陣的全部特征值與全部線性無(wú)關(guān)的特征向量,求. 解 ,則 . 59.(1996—Ⅰ,Ⅱ)已知二次型 的秩為2. （1）求參數(shù)及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值. （2）指出方程表示何種曲面. 【考點(diǎn)】矩陣的秩。矩陣的特征值。正交變換的性質(zhì). 解 (1) ,則的特征值. (2)二次型在某一正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形,則表示橢圓柱面. 【注意】 (1)二次型的秩即為二次型矩陣的秩。 (2)正交變換不改變向量的長(zhǎng)度,從而也不改變圖形的形狀. 60.(1996—Ⅱ)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系. 【考點(diǎn)】求解齊次線性方程組. 解 ,則方程組的解,令,得方程組的基礎(chǔ)解系. 61.(1996—Ⅳ)設(shè)矩陣, （1）已知的一個(gè)特征值為3,試求。 （2）求矩陣,使為對(duì)角矩陣. 【考點(diǎn)】分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)。特征值的計(jì)算。實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化. 解 (1)由. (2)由為對(duì)稱矩陣,要使為對(duì)角矩陣,即將實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化. 由(1)得的特征值, 的屬于特征值的正交單位化的特征向量。 的屬于特征值的正交單位化的特征向量. 令,則. 62.(1996—Ⅳ)設(shè)向量是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,向量不是方程組的解,:向量組線性無(wú)關(guān). 【考點(diǎn)】向量組的線性相關(guān)性的判別。 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的性質(zhì).解 方法一:設(shè),即 等式兩邊左乘,得,則.由線性無(wú)關(guān),得,所以線性無(wú)關(guān). 方法二:由,得 若線性相關(guān),顯然線性無(wú)關(guān),則可由線性表示,即是的解,則,故 即向量組線性無(wú)關(guān). 63.(1996—Ⅴ)已知線性方程組 討論參數(shù)取何值時(shí),方程組有解,無(wú)解。當(dāng)有解時(shí),試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論. 解 (1)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有解。 ①當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且 方程組的通解,其中為任意常數(shù)。 ②當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且 方程組的通解,其中為任意常數(shù). 【注意】此題為什么不用特殊情形下的方法二呢?請(qǐng)讀者思考. 64.(1996—Ⅴ)設(shè)有4階方陣滿足條件,. 【考點(diǎn)】特征值的計(jì)算及性質(zhì). 解 ,則的一個(gè)特征值為. 【注意】為的特征值. 65.(1997—Ⅰ)設(shè)是秩為2的矩陣,是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 【考點(diǎn)】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。非齊次線性方程組解的性質(zhì)。Schmidt正交化過(guò)程. 解 ,則為的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 將正交單位化得的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基:. 66.(1997—Ⅰ)已知是矩陣的一個(gè)特征向量. （1）試確定參數(shù)及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值。 （2）問(wèn)能否相似于對(duì)角矩陣?說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】特征值與特征向量的概念。矩陣能對(duì)角化的判別. 解 (1)由. (2) ,且只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,所以不能相似于對(duì)角矩陣. 67.(1997—Ⅰ)設(shè)是階可逆陣,將的第行和第行對(duì)換后得到的矩陣記為. （1）證明可逆。 （2）求. 【考點(diǎn)】初等矩陣及其性質(zhì). 解 . (1) 可逆. (2) . 68.(1997—Ⅱ)已知,且,其中是三階單位矩陣,求矩陣. 【考點(diǎn)】求解矩陣方程. 解 由. 69.(1997—Ⅱ)為何值時(shí),方程組 無(wú)解,有唯一解或有無(wú)窮多解?并在有無(wú)窮多解時(shí)寫出方程組的通解. 【考點(diǎn)】含參數(shù)的非齊次線性方程組解的討論. 解 方法一(一般情形):方程組改寫為. (1)當(dāng)且時(shí),方程組有惟一解。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且,解為,通解為 ,為任意常數(shù)。 (3)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解. 方法二(特殊情形): . (1)當(dāng)且時(shí),方程組有惟一解。 (2)當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,且通解為,為任意常數(shù)。 (3)當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解. 【注意】為了計(jì)算簡(jiǎn)便,在方法一中將方程組先交換未知量的次序. 70.(1997—Ⅲ,Ⅳ)設(shè)為階非奇異矩陣,為維列向量, 其中是矩陣的伴隨矩陣,為階單位矩陣. （1）計(jì)算并化簡(jiǎn)。 （2）證明:矩陣可逆的充分必要條件是. 【考點(diǎn)】分塊矩陣的運(yùn)算。矩陣可逆的充分必要條件. 解 (1) . (2) 由(1)得. 71.(1997—Ⅲ)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是。矩陣的屬于特征值的特征向量分別是. （1）求的屬于特征值3的特征向量。 （2）求矩陣. 【考點(diǎn)】已知的全部特征值和部分線性無(wú)關(guān)的特征向量,求. 解 (1)設(shè)的屬于特征值3的特征向量為,則,其中的常數(shù). (2)令,則 . 72.(1997—Ⅳ)設(shè)矩陣與相似,且 . (1)求的值。 (2)求可逆陣,使. 【考點(diǎn)】相似矩陣的性質(zhì)。矩陣的對(duì)角化. 解 (1). (2) 的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量。 的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量. 令,則. 73.(1998—Ⅰ)已知二次曲面方程 可以經(jīng)過(guò)正交變換 化為橢圓柱面方程,求的值和正交矩陣. 【考點(diǎn)】特征值的性質(zhì)。二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法與理論. 解 二次型的矩陣, . 屬于的正交單位化特征向量。屬于的正交單位化特征向量。. 74.(1998—Ⅰ)設(shè)是階矩陣,若存在正整數(shù),使線性方程組有解向量,:向量組是線性無(wú)關(guān)的. 【考點(diǎn)】抽象向量組線性相關(guān)性的判別. 解 設(shè),由,. 75.(1998—Ⅰ)已知線性方程組 （Ⅰ） （Ⅱ）的通解,并說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu). 解 記方程組（Ⅰ）為,則。記方程組（Ⅱ）為,則,故方程組（Ⅱ）,則的列向量組,即的行向量組為方程組（Ⅱ）的解向量