【文章內容簡介】 較復雜.)當B只有一列時,(I),設 B=(b1, b2,…,bs),則 X也應該有s列,記X=(X1,X2,…,Xs),則有AXi=bi,i=1,2,…,s,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解,即得(I)的解法:將A和B并列作矩陣(A|B),對它作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時B變?yōu)榻釾. (A|B)174。(E|X)(II)的解法:對兩邊轉置化為(I)的形式:ATXT=(I)的方法求出XT,轉置得X.. (AT|BT)174。(E|XT)矩陣方程是歷年考題中常見的題型,但是考試真題往往并不直接寫成(I)或(II)的形式,要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解.(2) 可逆矩陣的定義與意義定義 設A是n階矩陣,如果存在n階矩陣B,使得AB=E, BA=E,則稱A為可逆矩陣.此時B是唯一的,稱為A的逆矩陣,通常記作A1.如果A可逆,則A在乘法中有消去律: AB=0222。B=0；AB=AC222。B=C.(左消去律)； BA=0222。B=0；BA=CA222。B=C. (右消去律)如果A可逆,則A在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊): AB=C219。B=A1C. BA=C219。B=CA1.由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:(I) AX=B的解X=A1B . (II) XA=B的解X= BA1.這種解法想法自然，好記憶,但是計算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).(3) 矩陣可逆性的判別與性質 定理 n階矩陣A可逆219。|A|185。0.證明 “222?！睂A1=E兩邊取行列式,得|A||A1|=1,從而|A|185。0. (并且|A1|=|A|1.)“220?！币驗閨A|185。0,矩陣方程AX=E和XA=,C分別是它們的解,即AB=E, CA=E. 事實上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是從定義得到A可逆.推論 如果A和B 都是n階矩陣,則AB=E219。BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,則A和B都可逆并且互為逆矩陣. 可逆矩陣有以下性質:① 如果A可逆,則A1也可逆,并且(A1)1=A.AT也可逆,并且(AT)1=(A1)T. 當c185。0時, cA也可逆,并且(cA)1=c1A1.對任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)1=(A1)k.(規(guī)定可逆矩陣A的負整數(shù)次方冪Ak=(Ak)1=(A1)k.)② 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)1=B1A1.(請自己推廣到多個可逆矩陣乘積的情形.)初等矩陣都是可逆矩陣,并且 E(i,j)1= E(i,j), E(i(c))1=E(i(c1)), E(i,j(c))1= E(i,j(c)).(4) 逆矩陣的計算和伴隨矩陣① 計算逆矩陣的初等變換法當A可逆時, A1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A1:(A|E)174。(E|A1).② 伴隨矩陣若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為 A11 A21 … An1 A*= A12 A22 … An2 =(Aij)T.… … … A1n A2n … Amn 請注意,規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆,但是在A可逆時, A*和A1有密切關系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是對于可逆矩陣A,有A1=A*/|A|, 即A*=|A|A1.因此可通過求A*.和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2, a b * d b c d = c a ,因此當adbc185。0時, a b 1 d b c d = c a (adbc) .伴隨矩陣的其它性質:① 如果A是可逆矩陣，則A*也可逆，并且(A*)1= A/|A|=(A1)*. ② |A*|=|A|n1. ③ (AT)*=(A*)T. ④ (cA)*=1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(Ak)*=(A*)k.⑥ 當n2時,(A*)*=|A|n2A； n=2時,(A*)*=A.二 典型例題例1 a=(1,2,3) T,b =(1,1/2,1/3)T, A=ab T,求A6.討論:(1)一般地,如果n階矩陣A=ab T,則Ak=(bTa)k1A=(tr(A ))k1A .(2)乘法結合律的應用:遇到形如bTa的地方可把它當作數(shù)處理.① 1 1 1aaT= 1 1 1 ，求aTa.（2003一）1 1 1② 設a=(1,0,1)T, A=aaT,求|aEAn|.③ n維向量a=(a,0,188。,0,a)T, a0, A=EaaT, A1=E+a1aa T,求a. (03三,四)④ n維向量a=(1/2,0,188。,0,1/2)T, A=Eaa T, B=E+2aa T,求AB. (95四)⑤ A=Eab T,其中a,b 都是n維非零列向量,已知A2=3E2A,求aTb. 例2(1999三) 1 0 1設A = 0 2 0 ，求An2An1.(n1) 1 0 1例3 1 0 0 設A = 1 0 1 ，(1)證明當n1時An=An2+A2E. (2) 求An. 0 1 0 例4 設A為3階矩陣, a1,a2,a3是線性無關的3維列向量組,滿足Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.求作矩陣B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B. (2005年數(shù)學四)例5設3階矩陣A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.(05)例6 3維向量a1, a2, a3, b1, b2, b3滿足a1+a3+2b1b2=0, 3a1a2+b1b3=0, a2+a3b2+b3=0,已知|a1, a2, a3|=a,求| b1, b2, b3|.例7設A 是3階矩陣, a 是3維列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a==PBP1. (1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0 例8 3階矩陣A,B滿足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一) 0 0 1例9 3 5 1設3階矩陣A= 1 1 0 , A1XA=XA+2A,求X. 1 0 2 例10 1 1 1設3階矩陣A= 1 1 1 , A*X=A1+2X,求X. 1 1 1 例11 4階矩陣A,B滿足ABA1=BA1+3E,已知 1 0 0 0 A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一) 1 0 1 0 0 3 0 8例12 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 1例13 設a1=(5,1,5)T, a2=(1,3,2)T, a3=(1,2,1)T,矩陣A滿足 Aa1=(4,3) T, Aa2=(7,8) T, Aa3=(5,5) T,求A.例14 設A 是n階非零實矩陣,滿足A*=:(1)|A|0.(2)如果n2,則 |A|=1.例15 設矩陣A=(aij)3180。3滿足A*=A T,a11,a12,a13為3個相等的正數(shù),則它們?yōu)?A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . (2005年數(shù)學三)例16 設A 和B都是n階矩陣,C= A 0 ,則C*=0 B (A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 . 0 |B|B * 0 |A|A* (C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 . 0 |B|A* 0 |A|B* 例17 設A是3階矩陣,交換A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,使得C=AQ.例18 設A是3階可逆矩陣,交換A的1,2行得B,則(A) 交換A*的1,2行得到B*.(B) 交換A*的1,2列得到B*.(C) 交換A*的1,2行得到B*.(D) 交換A*的1,2列得到B*.(2005年)例19 設A是n階可逆矩陣, 交換A的i,j行得到B.(1) 證明B可逆.(2) 求AB 1.例20 設n階矩陣A滿足A2+3A2E=0.(1)證明A可逆,并且求A1.(2)證明對任何整數(shù)c,AcE可逆. 討論: 如果f(A)=0,則(1) 當f(x)的常數(shù)項不等于0時,A可逆.(2) f(c)185。0時,AcE可逆.(3) 上述兩條的逆命題不成立.例21設a是n維非零列向量,記A=(1) A2=A219。aTa =1.(2) aTa =1222。 A不可逆. (96一)討論: (2)的逆命題也成立.例22 設A,B都是n階矩陣,證明 EAB可逆219。 EBA可逆.例23 設3階矩陣A,B滿足AB=A+B.(1) 證明AE可逆.(2) 設 1 3 0 B= 2 1 0 ,求A. 0 0 2 (91)例24 設A,B是3階矩陣, A可逆,它們滿足2A1B=B4E.(1) 證明A2E可逆.(2) 設 1 2 0 B= 1 2 0 ,求A. 0 0 2 (2002)例25 設n階矩陣A,B滿足AB=aA+185。0,證明(1) AbE和BaE都可逆.(2) A可逆219。 B可逆.(3) AB=BA. 例26 設A,B都是n階對稱矩陣, E+AB可逆,證明(E+AB)1A也是對稱矩陣.例27 設A,B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明(1) 如果AB=BA,則B(A+B)1A=A(A+B)1B.(2) ,則B(A+B)1A=A(A+B)1B.(3) 等式B(A+B)1A=A(A+B)1B總成立.例28設A,B,C都是n階矩陣,滿足B=E+AB,C=A+CA,則BC為 (A) E.(B) E. (C) A. (D) A. (2005年數(shù)學四)參考答案 1 1/2 1/3例1 35A=35 2 1 –2/3 . 3 3/2 1① 3.② a2(a2n). ③ 1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: An=An2+A2E219。A n2(A2E)=A2E 219。 A(A2E)=A2E.(2)n=2k時, 1 0 0An = k 1 0 . k 0 1 n=2k+1時, 1 0 0An = k+1 0 1 . k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 . 1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=4 0 1 2例8 1/9.例 9 6 10 4X= 2 4 2 . 4 10 0例 10 1 1 0 (1/4) 0 1 1 . 1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 1例 12 1 0 0 2 0 0 . 6 1 1例 13 2 1 1 4 2 5 . 例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 . 0 0 1例18 (D).例19 E(i,j).例22 提示:,即在EAB可逆時證明齊次方程組(EBA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= 1/3 1 0 . 0 0 2例 24 0 2 0