【正文】 c可以相乘,乘積仍為m180。m的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作A T(或A162。A是階梯形矩陣. (C) A是上三角矩陣219。(E|h),h就是解. 用在齊次方程組上 :如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充分必要條件是|A|185。0推不出B=C. (無右消去律)請注意不要犯一種常見的錯誤:把數(shù)的乘法的性質(zhì)簡單地搬用到矩陣乘法中來. 矩陣乘法適合以下法則: ① 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC.② 數(shù)乘性質(zhì) (cA)B=c(AB). ③ 結(jié)合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B TA T.2. n階矩陣的方冪和多項式任何兩個n階矩陣A和B都可以相乘,: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,則說A和B可交換.方冪 設(shè)k是正整數(shù), n階矩陣A的k次方冪A 0=E .顯然A 的任何兩個方冪都是可交換的,并且方冪運算符合指數(shù)法則:① A kA h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A kB k不一定相等! n階矩陣的多項式 設(shè)f(x)=amxm+am1xm1+…+a1x+a0,對n階矩陣A規(guī)定f(A)=amA m+am1A m1+…+ a1A +a0E..乘法公式 一般地,由于交換性的障礙,當A和B可交換時,有:(A177。n矩陣B是n180。(E|X)(II)的解法:對兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X.. (AT|BT)174。B=0；BA=CA222。|A|185?！币驗閨A|185。(E|A1).② 伴隨矩陣若A是n階矩陣,記Aij是|A|的(i,j)位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定A的伴隨矩陣為 A11 A21 … An1 A*= A12 A22 … An2 =(Aij)T.… … … A1n A2n … Amn 請注意,規(guī)定n階矩陣A的伴隨矩陣并沒有要求A可逆,但是在A可逆時, A*和A1有密切關(guān)系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是對于可逆矩陣A,有A1=A*/|A|, 即A*=|A|A1.因此可通過求A*.和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2, a b * d b c d = c a ,因此當adbc185。3滿足A*=A T,a11,a12,a13為3個相等的正數(shù),則它們?yōu)?A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . (2005年數(shù)學(xué)三)例16 設(shè)A 和B都是n階矩陣,C= A 0 ,則C*=0 B (A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 . 0 |B|B * 0 |A|A* (C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 . 0 |B|A* 0 |A|B* 例17 設(shè)A是3階矩陣,交換A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,使得C=AQ.例18 設(shè)A是3階可逆矩陣,交換A的1,2行得B,則(A) 交換A*的1,2行得到B*.(B) 交換A*的1,2列得到B*.(C) 交換A*的1,2行得到B*.(D) 交換A*的1,2列得到B*.(2005年)例19 設(shè)A是n階可逆矩陣, 交換A的i,j行得到B.(1) 證明B可逆.(2) 求AB 1.例20 設(shè)n階矩陣A滿足A2+3A2E=0.(1)證明A可逆,并且求A1.(2)證明對任何整數(shù)c,AcE可逆. 討論: 如果f(A)=0,則(1) 當f(x)的常數(shù)項不等于0時,A可逆.(2) f(c)185。 EBA可逆.例23 設(shè)3階矩陣A,B滿足AB=A+B.(1) 證明AE可逆.(2) 設(shè) 1 3 0 B= 2 1 0 ,求A. 0 0 2 (91)例24 設(shè)A,B是3階矩陣, A可逆,它們滿足2A1B=B4E.(1) 證明A2E可逆.(2) 設(shè) 1 2 0 B= 1 2 0 ,求A. 0 0 2 (2002)例25 設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=aA+185。 A(A2E)=A2E.(2)n=2k時, 1 0 0An = k 1 0 . k 0 1 n=2k+1時, 1 0 0An = k+1 0 1 . k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 . 1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=4 0 1 2例8 1/9.例 9 6 10 4X= 2 4 2 . 4 10 0例 10 1 1 0 (1/4) 0 1 1 . 1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 . 6 0 6 0 0 3 0 1例 12 1 0 0 2 0 0 . 6 1 1例 13 2 1 1 4 2 5 . 例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 . 0 0 1例18 (D).例19 E(i,j).例22 提示:,即在EAB可逆時證明齊次方程組(EBA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= 1/3 1 0 . 0 0 2例 24 0 2 0A= 1 1 0 . 0 0 2 例25 提示:計算(AbE)(BaE).例28 (A).第四講 向量組的線性關(guān)系與秩 1. 線性表示關(guān)系設(shè)a1,a2,…,as是一個n維向量組.如果n維向量b等于a1,a2,…,as的一個線性組合，就說b可以用a1,a2,…, b2,…,bt 中的每一個都可以可以用a1,a2,…,as線性表示,就說向量b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as線性表示.判別“b是否可以用a1, a2,…,as線性表示? 表示方式是否唯一？”就是問：向量方程x1a1+ x2a2+…+xsas=b是否有解？解是否唯一？用分量寫出這個向量方程,就是以(a1, a2,…,as |b),判別“以(A|b)為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為“b是否可以用A的列向量組線性表示? 表示方式是否唯一？”的問題. 向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關(guān)系: 乘積矩陣AB的每個列向量都可以表示為A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示。a1,a2,…,as 線性無關(guān).⑤ 如果b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 線性表示，并且ts,則b1,b2,…,bt線性相關(guān).推論 如果兩個線性無關(guān)的向量組互相等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.(1) 定義向量組的秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”(指包含向量的個數(shù))的線性無關(guān)的部分組.定義 設(shè)a1,a2,…,as 是n維向量組,(I)① (I) 線性無關(guān).② (I) 再擴大就線性相關(guān). 就稱(I)為a1,a2,…,as 的一個極大無關(guān)組.條件②可換為:任何aI都可用(I) 線性表示,也就是(I) 與a1,a2,…,as 等價.當a1,a2,…,as 不全為零向量時,它就存在極大無關(guān)組,并且任意兩個極大無關(guān)組都等價,從而包含的向量個數(shù)相等.定義 如果a1,a2,…,as 不全為零向量,則把它的極大無關(guān)組中所包含向量的個數(shù)(是一個正整數(shù))稱為a1,a2,…,as 的秩,記作r(a1,a2,…,as).如果a1,a2,…,as 全是零向量,則規(guī)定r(a1,a2,…,as)=0. 由定義得出: 如果r(a1,a2,…,as)=k,則i) a1,a2,…,as 的一個部分組如果含有多于k個向量,則它一定的相關(guān).ii) a1,a2,…,as 的每個含有k個向量的線性無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組.(2) 應(yīng)用 ① a1,a2,…,as 線性無關(guān)219。 r(a1,a2,…,as,b1,b2,…,bt)=r(a1,a2,…,as).推論: 如果 b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as線性表示,則 r(b1,b2,…,bt)163。 A=0.如果A是m180。r(A)=n(即A的行(列)向量組無關(guān))219。B)163。n+r(AB).下面給出⑤和⑦在判別向量組的線性相關(guān)性和秩的計算問題上的應(yīng)用.設(shè)向量組a1, a2,188。 ,bt)=r(C).ii) 如果t=s (此時C是t階矩陣),則b1, b2,188。 ,bt),則B=AC, 并且r(A)=列數(shù)s,用⑦得到r(b1, b2,188。b1, b2,188。r(C) s, 從而b1, b2,188。m矩陣, 則( ) (A) 當mn時, |AB |185。存在m維非零列向量a=(a1,a2,…，a m)T和n維非零列向量b=(b1,b2,…,bn)T，使得A=ab T.例26 設(shè)n階矩陣A的秩為1，證明A2 =tr(A)A..3例27設(shè)A*為n階矩陣A的伴隨矩陣,則 n, 若r(A)=n,r(A*)= 1, 若r(A)=n1,0, 若r(A)n1.例28 設(shè)A為n階矩陣, =0,但是Ak1a185。r(A|B)=r(A).參考答案例1 abc185。1.例7 a=15,b=5.例8 1.例9 a185。c1+ c2+…+cs=1.② 它們的線性組合c1x1+ c2x2+…+csxs是AX=0的解219。r(A )=r(A|b)=n. (當A是方陣時,就推出克萊姆法則.)③ 有無窮多解219。B=0；AB=AC222。ABh=0219。n.證 記B=(b1, b2,188。nr(A),即r(A)+r(B)163。 ,s,即每個bi都是齊次方程組AX=0的解,從而r(B)= r(b1, b2,188。h是BX=0的解.于是ABX=0和BX=0確實同解.4. 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 線性方程組的通解(1) 齊次方程組的基礎(chǔ)解系如果齊次方程組AX=0有非零解,則它的解集(全部解的集合)是無窮集,稱解集的每個極大無關(guān)組為AX=0的基礎(chǔ)解系.于是, 當h1, h2,…,hs是AX=0的基礎(chǔ)解系時:向量h是AX=0的解219。Abi=0,i=1,2,…,s. 219。 r(A )=n(即:只有零解219。xx0是導(dǎo)出齊次方程組AX=0的解.(也就是說, x是x0與導(dǎo)出組AX=0的一個解的和.) 3. 線性方程組解的情況的判別對于方程組AX=b,判別其解的情況用三個數(shù):未知數(shù)的個數(shù)n,r(A),r(A|b).① 無解219。0.例18 2.例19 a=1,b=2,r(AB)=1.例20 (C).例21 (D).例22 (B).例23 (A).第五講 線性方程組 1. 線性方程組的形式線性方程組除了通常的寫法外,還常用兩種簡化形式：矩陣式 AX=b，(齊次方程組AX=0).向量式 x1a1+x2a2+…+xsas= b， (齊次方程組x1a1+x2a2+…+xsas=0). 2. 線性方程組解的性質(zhì)(1) 齊次方程組AX=0如果h1, h2,…,hs是齊次方程組AX=0的一組解,則它們的任何線性組合c1h1+ c2h2+188。0.例4 (1) λ185。r(a1,a2,…,as)+ r(b1, b2,…, bt).例30 證明r(A+B)163。0. (D) 當nm 時, |AB |=0. (99) 例23 AB =0, A,B是兩個非零矩陣,則(A) . (B) .(C) . (D) . (04)例24 設(shè)a1,a2 ,…,(a1,a2 ,…,as)=n的充分必要條件為:任何n維向量都可用a1,a2,…,as線性表示. 例25 設(shè)A是m180。1,求a. (05)例3 設(shè)a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1b)，問a,b滿足什么條件時r(a1,a2,a3)=2?例4 設(shè)a1=(1+λ，1，1)，a2=(1，1+λ，1)，a3=(1，1，1+λ)，b=(0，λ,λ2)． ① λ為何值時，b可用a1，a2，a3線性表示，并且表示方式唯一？②λ為何值時，b可用a1，a2，a3線性表示，并且表示方式不唯一？③ λ為何值時，b不可用a1，a2，a3線性表示？ 例5 設(shè) a1=(1,0,1,1),a2=(2,1,0,1),a3=(1,2,2,0), b1=(0,1,0,1),b2=(1,1,1,1).問: c1,c2滿足什么條件時