【正文】 , bs)163。h可用h1, h2,…,hs線性表示.定理 設(shè)AX=0有n個未知數(shù),則它的基礎(chǔ)解系中包含解的個數(shù)(即解集的秩)=nr(A ).于是,判別一組向量h1, h2,…,hs是AX=0的基礎(chǔ)解系的條件為① h1, h2,…,hs是AX=0的一組解.② h1, h2,…,hs線性無關(guān).③ s=nr(A ). 推論 如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)163。b1,b2,…,bt都是AX=0的解. 而A 列滿秩, AX=0只有零解, bi=0,i=1,2,…,s,即B=0.0 推論2 如果A列滿秩,則r(AB)=r(B).證明 只用證明齊次方程組ABX=0和BX=0同解.(此時矩陣AB和B 的列向量組有相同的線性關(guān)系,從而秩相等.)h是ABX=0的解219。r(A )=n). 推論1 當(dāng)A 列滿秩時, A 在矩陣乘法中有左消去律:AB=0222。r(A )r(A|b).② 有唯一解219。 + cshs也都是解.(2) 非齊次方程組AX=b如果x1, x2,…,xs是AX=b的一組解,則① 它們的線性組合c1x1+ c2x2+…+csxs也是AX=b解的219。0和3.(2) λ=0.(3) λ=3.例5 2c1+c2=0. 例6 k=1,a185。r(A)+r(B).例31 證明矩陣方程AX=B有解219。n矩陣，證明r(A)=1219。n矩陣, B是n180。 ,bs)163。 ,bs)=r(C)=s 219。 ,as), B=(b1, b2,188。 ,am線性表示,表示矩陣為C,則i) r(b1, b2,188。n.⑦ 如果A列滿秩(r(A)等于列數(shù)),則r(AB)=r(B).⑧一般公式: r(A)+r(B)163。A可逆.矩陣的秩還可以用它的非0子式來看.A的r階子式:任取 A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.命題 r(A)就是A的非0子式的階數(shù)的最大值.(即A的每個階數(shù)大于r(A)的子式的值都為0,但是A有階數(shù)等于r(A)的非0子式.)(2) 計算命題 ① 初等變換保持矩陣的秩.② 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù). 矩陣秩的計算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩.(3) 在矩陣運算中,矩陣的秩有性質(zhì)① r(A T)=r(A).② 如果c不為0,則r(cA)=r(A).③ r(A177。 當(dāng)r(A)=n時,稱A為列滿秩的.對于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,:n階矩陣A滿秩219。 r(a1,a2,…,as)= r(a1,a2,…,as, b1,b2,…,bt)= r(b1,b2,…,bt).極大無關(guān)組和秩的概念可以推廣到向量集合上(即包含的向量的個數(shù)不必有限),所有性質(zhì)仍然成立.4. 秩的計算,有相同線性關(guān)系的向量組兩個向量個數(shù)相同的向量組a1,a2,…,as,和 b1,b2,…,bs稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程x1a1+x2a2+…+xsas=0和x1b1+x2b2+…+xsbs=0同解,即齊次線性方程組(a1,a2,…,as)X=0和( b1,b2,…,bs)X=0同解.當(dāng)a1,a2,…,as和 b1,b2,…,bs有相同線性關(guān)系時,(1)它們的對應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性.(2)它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而它們的秩相等.(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.例如,當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時, AX=0和BX=0同解,秩相等.這樣,就產(chǎn)生了計算一個向量組a1,a2,…,as的秩和極大無關(guān)組的方法:把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣(a1,a2,…,as),用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)就是a1,a2,…,as的秩, B的各臺角所在列號對應(yīng)的部分組是a1,a2,…,as的的一個極大無關(guān)組. 如果A經(jīng)過初等列變換化為B，則A的列向量組和B的列向量組是等價關(guān)系，雖然秩相等,但是極大無關(guān)組并沒有對應(yīng)關(guān)系.(1) 定義一個矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱此數(shù)為矩陣A的秩,記作r(A).于是r(A)=0219。r(a1,a2,…,as,b)=r(a1,a2,…,as)=s.推論2: 如果r(a1,a2,…,as)=維數(shù)n,則任何n維向量b都可以用a1,a2,…,as 線性表示.③ b1,b2,…,bt可以用a1,a2,…,as 線性表示219。| a1, a2,…,an|=0.② 線性無關(guān)向量組的每個部分組都無關(guān)(從而每個向量都不是零向量). ③ 如果a1,a2,…,as 線性無關(guān),而a1,a2,…,as ,b線性相關(guān),則b可用a1,a2,…,as 線性表示.④ 如果b可用a1,a2,…,as 線性表示,則表示方式唯一219。A n2(A2E)=A2E 219。 A不可逆. (96一)討論: (2)的逆命題也成立.例22 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明 EAB可逆219。,0,1/2)T, A=Eaa T, B=E+2aa T,求AB. (95四)⑤ A=Eab T,其中a,b 都是n維非零列向量,已知A2=3E2A,求aTb. 例2(1999三) 1 0 1設(shè)A = 0 2 0 ，求An2An1.(n1) 1 0 1例3 1 0 0 設(shè)A = 1 0 1 ，(1)證明當(dāng)n1時An=An2+A2E. (2) 求An. 0 1 0 例4 設(shè)A為3階矩陣, a1,a2,a3是線性無關(guān)的3維列向量組,滿足Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.求作矩陣B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B. (2005年數(shù)學(xué)四)例5設(shè)3階矩陣A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.(05)例6 3維向量a1, a2, a3, b1, b2, b3滿足a1+a3+2b1b2=0, 3a1a2+b1b3=0, a2+a3b2+b3=0,已知|a1, a2, a3|=a,求| b1, b2, b3|.例7設(shè)A 是3階矩陣, a 是3維列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a==PBP1. (1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0 例8 3階矩陣A,B滿足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一) 0 0 1例9 3 5 1設(shè)3階矩陣A= 1 1 0 , A1XA=XA+2A,求X. 1 0 2 例10 1 1 1設(shè)3階矩陣A= 1 1 1 , A*X=A1+2X,求X. 1 1 1 例11 4階矩陣A,B滿足ABA1=BA1+3E,已知 1 0 0 0 A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一) 1 0 1 0 0 3 0 8例12 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 1例13 設(shè)a1=(5,1,5)T, a2=(1,3,2)T, a3=(1,2,1)T,矩陣A滿足 Aa1=(4,3) T, Aa2=(7,8) T, Aa3=(5,5) T,求A.例14 設(shè)A 是n階非零實矩陣,滿足A*=:(1)|A|0.(2)如果n2,則 |A|=1.例15 設(shè)矩陣A=(aij)3180。0時, cA也可逆,并且(cA)1=c1A1.對任何正整數(shù)k, Ak也可逆,并且(Ak)1=(A1)k.(規(guī)定可逆矩陣A的負(fù)整數(shù)次方冪Ak=(Ak)1=(A1)k.)② 如果A和B都可逆,則AB也可逆,并且(AB)1=B1A1.(請自己推廣到多個可逆矩陣乘積的情形.)初等矩陣都是可逆矩陣,并且 E(i,j)1= E(i,j), E(i(c))1=E(i(c1)), E(i,j(c))1= E(i,j(c)).(4) 逆矩陣的計算和伴隨矩陣① 計算逆矩陣的初等變換法當(dāng)A可逆時, A1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A1:(A|E)174。0. (并且|A1|=|A|1.)“220。B=CA1.由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:(I) AX=B的解X=A1B . (II) XA=B的解X= BA1.這種解法想法自然，好記憶,但是計算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).(3) 矩陣可逆性的判別與性質(zhì) 定理 n階矩陣A可逆219。B=C.(左消去律)； BA=0222。j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩陣, 也就是把E的(i,j)位的元素改為c.命題 對矩陣作一次初等行(列)變換相當(dāng)于用一個相應(yīng)的初等矩陣從左(右)乘它.4. 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)(1) 矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法,乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程:(I) AX=B. (II) XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個方程的解都是存在并且唯一的.(否則解的情況比較復(fù)雜.)當(dāng)B只有一列時,(I),設(shè) B=(b1, b2,…,bs),則 X也應(yīng)該有s列,記X=(X1,X2,…,Xs),則有AXi=bi,i=1,2,…,s,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時求解,即得(I)的解法:將A和B并列作矩陣(A|B),對它作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時B變?yōu)榻釾. (A|B)174。A2B2=(A+B)(AB)=(A+B)(AB).二項展開式成立: 等等.前面兩式成立還是A和B可交換的充分必要條件. 同一個n階矩陣的兩個多項式總是可交換的. 一個n階矩陣的多項式可以因式分解.3. 分塊法則 ,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切A的縱向切割和B的橫向切割一致!),再用它們來作乘法.(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11 A12 B11 B12 = A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21 A22 B21 B22 A21B11+A22B21 A21B12+A22B22要求Aij的列數(shù)Bjk和的行數(shù)相等.準(zhǔn)對角矩陣的乘法:形如 A1 0 … 0 A= 0 A2 … 0 … … … 0 0 … An的矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣,其中A1,A2,…,Ak都是方陣.兩個準(zhǔn)對角矩陣 A1 0 … 0 B1 0 … 0A= 0 A2 … 0 , B= 0 B2 … 0 … … … … … … 0 0 … Ak 0 0 … Bk如果類型相同,即Ai和Bi階數(shù)相等,則 A1B1 0 … 0 AB = 0 A2B2 … 0 . … … … 0 0 … AkBk (2)乘積矩陣的列向量組和行向量組設(shè)A是m180。0推不出B=C.(無左消去律)由BA=CA和A185。,Dn/D),這里D是系數(shù)行列式的值, Di是把系數(shù)行列式的第i個列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式的值.說明與改進:按法則給的公式求解計算量太大，,用在對解的唯一性的判斷,而在這方面法則不夠. 法則的改進:系數(shù)行列式不等于0是唯一解的充分必要條件.實際上求解可用初等變換法:對增廣矩陣(A|b)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃? (A|b)174。A是階梯形矩陣. (B) A是上三角矩陣220。n的矩陣A行和列互換,得到的n180。n矩陣,記作A+B (AB),法則為對應(yīng)元素相加(減).數(shù)乘: 一個m180。 每一列是一個m維向量, ,例如當(dāng)矩陣A的列向量組為a1, a2,188。 ,an)或 a2 , ┆ an 請注意,作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1180。n個數(shù)排列成的一個m行n列的表格,兩邊界以圓括號或方括號,就成為一個m180。收集自網(wǎng)絡(luò)，不以任何盈利為目的。 2 1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 2 9 3 3 3 1 8是一個4180。n矩陣,右邊是n180。 ,an時(它們都是表示為列的形式!)可記A=(a1, a2,188。n的矩陣A與一個數(shù)