新人教b版高中數(shù)學必修5222等差數(shù)列前n項和-資料下載頁
2024-11-20 03:12本頁面
【導讀】等差數(shù)列的前n項和·例題解析。等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125，求其第6. 解得a1=113，d=－22．∴其通項公式為。an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135. ∴a6=－22×6＋135＝3. 說明本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法．在本課中如果注意到a6=a1＋5d，也。直接去求，所列方程組化簡后可得＋＋相減即得＋，a2a9d=28a4d=25a5d=361. 即a6＝3．可見，在做題的時候，要注意運算的合理性．當然要做到這一點，必須以對知。識的熟練掌握為前提．。在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1、末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列。的前半部分的和同后半部分的和之比為9∶13，求插入的數(shù)的個數(shù)．。在等差數(shù)列{an}中，設(shè)前m項和為Sm，前n項和為Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求。整理得－＋－＋－。分析nS=nadan11等差數(shù)列前項和＋，含有兩個未知數(shù)，nn()?d，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對數(shù)列的前若干項的正負性進行判斷，
【正文】 (m＋ n)2＋ B(m＋ n)＝－ (m＋ n) 即 Sm+n＝－ (m＋ n) 說明 a1， d 是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本 元素，再 解決其它問題，但本題 關(guān)鍵在于求出了 ＋ ＝－ ，這種設(shè)而不a d 11 m n? ? 12 解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得 借鑒．解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè) Sx=Ax2＋ Bx． (x∈ N) 【例 14】 在項數(shù)為 2n 的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為 75，各偶數(shù)項之和為 90，末項與首項之差為 27，則 n 之值是多少？ 解 ∵ S 偶項 － S 奇項 =nd ∴ nd=90－ 75=15 又由 a2n－ a1＝ 27，即 (2n－ 1)d=27 nd 15 ( 2 n 1 ) d 27 n = 5＝ － ＝ ∴??? 【例 15】 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1＝ 25， S9＝ S17， 問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值． 解法一 建立 Sn 關(guān)于 n 的函數(shù)，運用函數(shù) 思想，求最大值． 根據(jù)題意： ＋ ， ＝ ＋ S = 17a d S 9a d17 1 9 117 162 9 82 ∵ a1=25， S17＝ S9 解得 d＝－ 2 ∴ ＝ ＋ － － ＋ － － ＋S 25n ( 2) = n 26n = (n 13) 169n 2 2n n( )? 12 ∴當 n=13 時， Sn最大，最大值 S13＝ 169 解法二 因為 a1=25＞ 0， d＝－ 2＜ 0，所以數(shù)列 {an}是遞減等 差數(shù)列，若使前 項和最大，只需解 ≥ ≤ ，可解出 ．n a 0a 0 nnn + 1??? ∵ a1＝ 25， S9＝ S17 ∴ ＋ ＋ ，解得 －9 25 2 d = 17 25 d d = 29 8 17 162 ∴ an=25＋ (n－ 1)(－ 2)=－ 2n＋ 27 ∴ － ＋ ≥－ ＋ ＋ ≥ ≤≥ ∴2n 27 02 ( n 1) 27 0 n 1 3 . 5n 1 2 . 5 n = 13??? ? ???[來 即前 13 項和最大，由等差數(shù)列的前 n 項和公式可求得 S13=169． 解法三 利用 S9=S17 尋找相鄰項的關(guān)系． 由題意 S9=S17得 a10＋ a11＋ a12＋?＋ a17=0 而 a10＋ a17=a11＋ a16=a12＋ a15=a13＋ a14 ∴ a13＋ a14＝ 0， a13=－ a14 ∴ a13≥ 0， a14≤ 0 ∴ S13=169最大． 解法四 根據(jù)等差數(shù)列前 n 項和的函數(shù)圖像，確定取最大值時的 n． ∵ {an}是等差數(shù)列 ∴可設(shè) Sn＝ An2＋ Bn 二次函數(shù) y=Ax2＋ Bx的圖像過原點，如圖 3． 2－ 1所示 ∵ S9＝ S17， ∴ 對稱軸 x = 9 + 172 = 13 ∴取 n=13 時， S13＝ 169最大
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