新人教b版高中數(shù)學(xué)必修5222等差數(shù)列前n項和-展示頁
2024-12-02 03:12本頁面
【正文】 和 Tn． 分析 n S = na d an 1 1等差數(shù)列前 項和 ＋ ，含有兩個未知數(shù) ，n n( )? 12 d，已知 S3 和 S6 的值，解方程組可得 a1 與 d，再對數(shù)列的前若干項的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出 Tn 來． 解 d S na d3a 3d = 21ba 15d = 24n 111設(shè)公差為 ，由公式 ＝ ＋得 ＋＋n n( )????12 解方程組得： d＝－ 2， a1＝ 9 ∴ an＝ 9＋ (n－ 1)(n－ 2)＝－ 2n＋ 11 由 ＝－ ＋ ＞ 得 ＜ ，故數(shù)列 的前 項為正，a 2n 11 0 n = 5 . 5 {a } 5n n112 其余各項為負(fù)．?dāng)?shù)列 {an}的前 n 項和為： S 9n ( 2) = n 10nn 2＝ ＋ － － ＋n n( )? 12 ∴當(dāng) n≤ 5 時， Tn＝－ n2＋ 10n 當(dāng) n＞ 6 時， Tn＝ S5＋ |Sn－ S5|＝ S5－ (Sn－ S5)＝ 2S5－ Sn ∴ Tn＝ 2(－ 25＋ 50)－ (－ n2＋ 10n)＝ n2－ 10n＋ 50 即 － ＋ ≤－ ＋ ＞ ∈T = n 1 0 n n 5n 10n 5 0 n 6 n *n 22????? N 說明 根據(jù)數(shù)列 {an}中項的符號，運用分類討論思想可求｛ |an|｝的前 n項和． 【例 7】 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a6＋ a9＋ a12＋ a15＝ 34，求前 20 項之和． 解法一 由 a6＋ a9＋ a12＋ a15＝ 34 得 4a1＋ 38d＝ 34 又 ＝ ＋ S 20a d20 1 20 192 ＝ 20a1＋ 190d＝ 5(4a1＋ 38d)=5 34=170 解法二 S = (a + a ) 202 = 1 0 ( a a )20 1 20 1 20 ＋ 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： a6＋ a15=a9＋ a12＝ a1＋ a20 ∴ a1＋ a20=17 S20＝ 170 【例 8】 已知等差數(shù)列 {an}的公差是正數(shù)，且 a3 (－ 22)=－ 22n＋ 135 ∴ a6=－ 22 6＋ 135＝ 3 說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素 a d，再求其他的．這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng) 常用到的一種方法．在本課中如果注意到 a6=a1＋ 5d，也可以不必求出 an 而 直接去求 ，所列方程組化簡后可 得 ＋＋ 相減即得 ＋ ，a 2a 9d = 28a 4d = 25 a 5d = 36 11 1??? 即 a6＝ 3．可見，在做題的時候 ，要注意運算的合理性．當(dāng)然要做到這一點， 必須以對知識的熟練掌握為前提． 【例 4】 在 1 和 2 之間插入 2n 個數(shù)，組成首項為 末項為 2 的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前半部分的 和同后半部分的和之比為 9∶ 13，求插入的數(shù)的個數(shù)．
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