【導讀】本課件是由精確校對的word書稿制作的“逐字編輯”課。件，如需要修改課件，請雙擊對應(yīng)內(nèi)容，進入可編輯狀態(tài)。此公式，點擊右鍵、“切換域代碼”，即可進入編輯狀態(tài)。第30講等比數(shù)列及其前n項和。1．基本問題——數(shù)列的概念、數(shù)列的通項公式、數(shù)列。的前n項求和公式、簡單的遞推公式、an與Sn的關(guān)系．。2．數(shù)列的分類——①按項數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)。列；②按增減規(guī)律分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列、有界數(shù)列．。3．數(shù)列的表示方法——列表法、圖象法、解析法．。1．概念——兩種數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系、等差中項、等比。高考對數(shù)列的考查要求和難度呈現(xiàn)出不確定性，有時考大。列給予充分的重視，力圖使學生通過本單元的復習能夠熟。占有突出位置，除了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和外，還會。等差數(shù)列和等比數(shù)列的實際應(yīng)用是考試大綱明確要求的，前n項和)；基本方法主要是基本量方法、錯位相減求和法、

　　

【正文】 ，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列． ( ) [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 [ 解析 ] ( 1) Sn＝d2n2＋??????a1－d2n ，當 d ＝ 0 時， Sn不是關(guān)于n 的二次函數(shù)；當 d ≠ 0 時， Sn是關(guān)于 n 的二次函數(shù)． ( 2) 由 Sn＝ pn2＋ qn ＋ r ，得 n ＝ 1 時， S1＝ a1＝ p ＋ q ＋ r ， 當 n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ ( pn2＋ qn ＋ r ) － [ p ( n － 1)2＋ q ( n－ 1) ＋ r ] ＝ 2 pn － ( p － q ) , ① 若 r ＝ 0 ， a1＝ p ＋ q ＋ r 適合 ① 式，則數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝ 2 pn － ( p － q ) ， ∴ d ＝ an－ an － 1＝ [2 pn － ( p － q )] － [2 p ( n － 1) － ( p － q )] ＝2 p ( 常數(shù) ) ， 故這個數(shù)列一定是等差數(shù)列，首項 a1＝ p ＋ q ，公差為2 p ； 若 r ≠ 0 ， a1＝ p ＋ q ＋ r 不適合 ① 式，則數(shù)列 { an} 不是等差數(shù)列． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 3 ． 等差數(shù)列的性質(zhì) ( 1) 在等差數(shù)列 { an} 中， a3＋ a7＝ a10. ( ) ( 2) 若數(shù)列 { an} 和 { bn} 都是等差數(shù)列，則數(shù)列 { pan－qbn} ， ( p ， q 為常數(shù) ) 也是等差數(shù)列． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 [ 解析 ] ( 1) 在等差數(shù)列 { an} 中， a3＋ a7＝ a1＋ 2 d ＋ a1＋ 6 d ＝ 2 a1＋ 8 d ， a10＝ a1＋ 9 d ，故 a3＋ a7≠ a10. 注意：在等差數(shù)列中， am＋ an≠ am ＋ n，左右兩邊項數(shù)一定要相同才能用上述性質(zhì)． ( 2) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 和 { bn} 的公差分別為 d1， d2，則當n ≥ 2 時， ( pan－ qbn) － ( pan － 1－ qbn － 1) ＝ p ( an－ an － 1) － q ( bn－bn － 1) ＝ pd1－ qd2，它是一個與 n 無關(guān)的數(shù)，故這個數(shù)列是以 pd1－ qd2為公差的等差數(shù)列． [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) √ 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 考點統(tǒng)計 題型 (考頻 ) 題型示例 (難度 ) 0 填空 (2) 2020年北京 10(A)， 2020年課標 T14(A) 選擇 (1) 2020年遼寧 T4(A) ? 探究點一 等差數(shù)列的判斷與證明 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 例 1 [ 2020 江蘇卷 ] 已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列 { an}和 { bn} 滿足： an ＋ 1＝an＋ bna2n＋ b2n， n ∈ N*. 設(shè) bn ＋ 1＝ 1 ＋bnan， n ∈ N*，求證：數(shù)列????????????bnan2是等差數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 思考流程 條件：已知兩個數(shù)列 { an} ， { bn} 的遞推關(guān)系；目標：求證新數(shù)列????????????bnan2是等差數(shù)列；方法：利用等差數(shù)列的性質(zhì)和定義． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 證明： 由題設(shè)知 an ＋ 1＝an＋ bna2n＋ b2n＝1 ＋bnan1 ＋??????bnan2＝bn ＋ 11 ＋??????bnan2， 所以bn ＋ 1an ＋ 1＝ 1 ＋??????bnan2，從而????????bn ＋ 1an ＋ 12－??????bnan2＝ 1( n ∈ N*) ， 所以數(shù)列????????????bnan2是以 1 為公差的等差數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 點評 本題命制點為通過新定義來構(gòu)造等差數(shù)列，考查創(chuàng)新意識．先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義、條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判 斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題，是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般性質(zhì)新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺． 對于這類問題，我們只要弄清其本質(zhì)，然后根據(jù)所學的等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可快速解決． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 歸納總結(jié) 證明等差數(shù)列 { an} 的常用方法： ① 用定義證明， an－ an － 1＝ d ( d 為常數(shù)， n ≥ 2 ) ? { an} 為等差數(shù)列； ② 用等差中項證明： 2 an ＋ 1＝ an＋ an ＋ 2? { an} 為等差數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 變式題 [ 2020 山西四校聯(lián)考 ] 已知數(shù)列 { an} 是首項為 a1＝14，公比 q ＝14的等比數(shù)列，設(shè) bn＋ 2 ＝ 3 lo g14an( n ∈ N*) ，求證： { bn} 是等差數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 證明： 由題意知， an＝??????14n( n ∈ N*) ， ∴ bn＝ 3 log14an－ 2 ＝ 3 log14 ??????14n－ 2 ＝ 3 n － 2 ， b1＝ 3 log14a1－ 2 ＝ 1. ∴ bn ＋ 1－ bn＝ 3( n ＋ 1) － 2 － (3 n － 2) ＝ 3. ∴ 數(shù)列 { bn} 是首項 b1＝ 1 ，公差 d ＝ 3 的等差數(shù)列． ? 探究點二 等差數(shù)列的基本運算 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 例 2 [ 2020 河北五校聯(lián)考 ] 已知等差數(shù)列 { an} 中， a1＝ 1 ， a3＝－ 3. ( 1) 求數(shù)列 { an} 的通項公式； ( 2) 若數(shù)列 { an} 的前 k 項和 Sk＝－ 35 ，求 k 的值． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 思考流程 條件：已知等差數(shù)列 的兩項，可求出公差；目標： ( 1) 求通項公式， ( 2) 求 k ；方法： ( 1 ) 通過列方程求出公差 d ， ( 2) 利用求和公式列方程． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 解： ( 1) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ，則 an＝ a1＋ ( n － 1) d . 由 a1＝ 1 ， a3＝－ 3 ，可得 1 ＋ 2 d ＝－ 3. 解得 d ＝－ 2. 從而 an＝ 1 ＋ ( n － 1) ( － 2) ＝ 3 － 2 n . ( 2) 由 ( 1) 可知 an＝ 3 － 2 n . 所以 Sn＝n [1 ＋（ 3 － 2 n ） ]2＝ 2 n － n2. 進而由 Sk＝－ 35 可得 2 k － k2＝－ 35. 即 k2－ 2 k － 35 ＝ 0 ，解得 k ＝ 7 或 k ＝－ 5. 又 k ∈ N*，故 k ＝ 7. 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 點評 在等差數(shù)列涉及的 5 個基本量： a1， d ， an， Sn，n 中已知其中的 3 個就一定能求出另外的 2 個 ( 簡稱 “ 知三求二 ” ) ，其中 a1與 d 是確定等差數(shù)列的兩個最基本的量，在很多問題中要用這兩個基本量表示其他的量來解決問題；解決這類 問題基本方法就是根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式列出方程 ( 組 ) ，解方程 ( 組 ) 即得未知的量，如下面的變式題： 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 歸納總結(jié) 確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是確定首項 a1和公差d ，等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式中聯(lián)系著五個量：a1， d ， an， Sn， n ，根據(jù)方程的思想，已知其中三個量，可以通過方程求出另外兩個量，方程思想在解決等差數(shù)列問題中占有重要位置． 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 變式題 [ 2020 鄭州檢測 ] 已知等差數(shù)列 { an} ，滿足：a5＝ 9 ， a2＋ a6＝ 14. ( 1) 求 { an} 的通項公式； ( 2) 若 bn＝ an＋ 2 an，求數(shù)列 { bn} 的前 n 項和 Sn. 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 解： ( 1) 設(shè) { an} 的首項為 a1，公差為 d ， 則由 a5＝ 9 ， a2＋ a6＝ 14 ，得?????a1＋ 4 d ＝ 9 ，2 a1＋ 6 d ＝ 14 ， 解得?????a1＝ 1 ，d ＝ 2 ， 所以 { an} 的通項公式 an＝ 2 n － 1. ( 2) 由 an＝ 2 n － 1 得 bn＝ 2 n － 1 ＋ 22 n － 1. Sn＝ [1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ ? ＋ (2 n － 1 ) ] ＋ (21＋ 23＋ 25＋ ? ＋ 22 n － 1) ＝ n2＋2 （ 1 － 22 n）1 － 22＝ n2＋22 n ＋ 1－ 23. ? 探究點三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 返回目錄 點面講考向 第 29講 等差數(shù)列及其前 n項和 例 3 ( 1) [ 2020 ?？谥攸c中學聯(lián)考 ] 設(shè)數(shù)列 { an} 是等差數(shù)列，若 a3＋ a4＋ a5＝ 12 ，則 a1＋ a2＋ ? ＋ a7＝ ( ) A ． 14 B ． 21 C ． 28 D ． 25 ( 2) [ 2020 汕頭質(zhì)檢 ] 已知正項等差數(shù)列 { an} 的前 20 項的和為 100 ，那么 a6 a15的最大值為 ( ) A ． 25