【文章內容簡介】 ? ， an－ an － 1＝ f ( n － 1) ． 將以上 n － 1 個等式左右分別相加，整理得： an＝ a1＋ ?i ＝ 1n － 1f( i ) ． 類型 2 ： an ＋ 1＝ f ( n ) an，其中 { f ( n )} 是一個連乘積可以化簡的數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 解法 ( 累乘法 ) ：把原遞推公式轉化為an ＋ 1an＝ f ( n ) ，則有 a2a1＝ f ( 1) ，a3a2＝ f ( 2) ， ? ，anan － 1＝ f ( n － 1) ． 將以上 n － 1 個等式左右分別相乘，整理得 an＝ a1f ( 1) f ( 2) ? f ( n － 1) ． 類型 3 ： an ＋ 1＝ pan＋ q ( 其中 p ， q 均為常數(shù) ( pq ( p － 1) ≠ 0) ) ． 解法 ( 待定系數(shù)法 ) ：把原遞推公式轉化為： an ＋ 1－ t ＝ p ( an－ t ) ，其中 t ＝q1 － p，則數(shù)列??????????an－q1 － p是等比數(shù)列． 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 歸納總結 數(shù)列的 遞推關系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關系可以依次寫出這個數(shù)列的各項，由遞推關系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有： ① 求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式； ② 將已知遞推關系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法． 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 變式題 ( 1) [ 2020 漳州六校聯(lián)考 ] 已知數(shù)列 { an} 滿足：a1＝ 1 ， an＝ an － 1＋1n （ n － 1 ）( n ≥ 2) ，則數(shù)列 { an} 的通項公式是 ________ ． ( 2) [ 2020 溫州中學月考 ] 已知數(shù)列 { an} 中， a1＝ 4 ， an＝4n － 1an － 1( n 1 ， n ∈ N ) ，則該數(shù)列的通項公式為 ___ _____ ． 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 [ 解析 ] 方法一： an－ an － 1＝1n （ n － 1 ）＝1n － 1－1n， an － 1－ an － 2＝1（ n － 1 ）（ n － 2 ）＝1n － 2－1n － 1， ? a2－ a1＝12 1＝ 1 －12， 把上面各式相加，得 an－ a1＝ 1 －1n. 又 a1＝ 1 ， ∴ an＝ 2 －1n＝2 n － 1n. [ 答案 ] ( 1 ) a n ＝ 2 n － 1n ( 2 ) a n ＝ 2 n 2 － n ＋ 2 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 方法二：由遞推公式得 a1＝ 1 ， a2＝ 1 ＋12 1＝32， a3＝32＋13 2＝53， ? ， 由此可歸納，得 an＝2 n － 1n. ( 2) 由 an＝ 4n － 1an － 1可得 a2＝ 4 a1， a3＝ 42a2， a4＝ 43a3， ? ，an＝ 4n － 1an － 1， 上述 ( n － 1) 個等式相乘，得 an＝ 41 ＋ 2 ＋ ? ＋ ( n － 1 )a1＝ 2 n2－ n ＋2 . ? 探究點 四 數(shù)列的函數(shù)特征 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 例 4 ( 1) [ 2020 石家莊模擬 ] 設 an＝－ 3 n2＋ 15 n － 18 ，則數(shù)列 { an} 中的最大項的值是 ( ) A.163 B.133 C ． 4 D ． 0 ( 2) 數(shù)列 { an} 的通項公式 an＝ n c osn π2，其前 n 項和為 Sn，則 S2 0 1 2等于 ( ) A ． 1 0 06 B ． 2 012 C ． 503 D ． 0 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 思考流程 ( 1) 分析： a n 是關于 n 的二次函數(shù)；推理：通過配方，求出二次函數(shù)的對稱軸；結論：根據(jù)二次函數(shù)最值，求出數(shù)列的最大項，注意 n 為正整數(shù)． ( 2) 分析：已知條件中含有三角函數(shù)，運用三角函數(shù)的性質進行推理；推理：通過求值發(fā)現(xiàn)呈現(xiàn)周期性；結論：根據(jù)周期性求出 S 2 0 1 2 . 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 [ 解析 ] ( 1) 因為 an＝－ 3??????n －522＋34，且 n ∈ N*，所以當 n＝ 2 或 n ＝ 3 時， an取最大值，即最大值為 a2＝ a3＝ 0. 故選 D. ( 2) a1＝ 1 c osπ2＝ 0 ， a2＝ 2 c os π ＝－ 2 ， a3＝ 3 c os3 π2＝ 0 ， a4＝ 4 c os 2 π ＝ 4 ； a5＝ 5 c os5 π2＝ 0 ， [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) A 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 a6＝ 6 co s 3 π ＝－ 6 ， a7＝ 7 c os7 π2＝ 0 ， a8＝ 8 c os8 π2＝ 8. 該數(shù)列每四項的和為 2 ， 2 012 247。 4 ＝ 503 ， 所以 S2 0 1 2＝ 2 503 ＝ 1 006. 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 點評 數(shù)列的函數(shù)特征主要是數(shù)列的單調性和 周期性． 數(shù)列的單調性和函數(shù)的單調性定義有所不同，由于數(shù)列中的自變量是正整數(shù)，故數(shù)列 { an} 單調遞增的充要條件是對任意正整數(shù) n ，有 an an ＋ 1，單調遞減的充要條件是對任意正整數(shù) n ，有 an ＋ 1 an. 數(shù)列的周期性是指存在正整數(shù) k ( 常數(shù) ) ，對任意正整數(shù) n ，有 an ＋ k＝ an，在給出遞推關系式的數(shù)列中可以通過計算數(shù)列的一些項的值，探究其周期性．所以，數(shù)列的單調性問題、最值問題、周期問題等具有明顯函數(shù)特征的問題可以用函數(shù)方法解決．如下面的變式題 ： 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 歸納總結 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是定義域為正整數(shù)集或其子集的函數(shù)，函數(shù)所具有的性 質在數(shù)列中也有，可以根據(jù)研究函數(shù)性質的方法研究數(shù)列的性質；當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列，因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 變式題 ( 1) [ 2020 南陽聯(lián)考 ] 對于數(shù)列 { an} ， a1＝ 4 ，an ＋ 1＝ f ( an) ， n ＝ 1 ， 2 ， ? ，則 a2 0 1 3等于 ( ) x 1 2 3 4 5 f ( x ) 5 4 3 1 2 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 ( 2) [ 2020 湖北重點中學聯(lián)考 ] 數(shù)列 { an} 滿足 an＝?????（ 3 － a ） n － 3 （ n ≤ 7 ），an － 6（ n 7 ），且 { an} 是遞增數(shù)列，則實數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A.??????94， 3 B .??????94， 3 C ． (1 ， 3) D ． (2 ， 3) 返回目錄 點面講考向 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 [ 解析 ] ( 1) 根據(jù)函數(shù)的對應關系，由已知得， a1＝ 4 ， a2＝ 1 ， a3＝ 5 ， a4＝ 2 ， a5＝ 4 ， ? ，所以數(shù)列各項是以 4 為周期變化的，所以 a2 0 1 3＝ a5 0 3 4 ＋ 1＝ a1＝ 4 ，故選 C. ( 2) 依題意，數(shù)列 { an} 是 遞 增 數(shù) 列 ， 則????? 3 － a 0 ，a 1 ，（ 3 － a ） 7 － 3 a2，解之得 2 a 3. 故選 D. [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) D 易錯究源 9 求通項公式時忽視對 a1的討論致誤 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 例 在數(shù)列 { an} 中， a1＝ 1 ， Sn＝ 3 an ＋ 1＋ 2( n ∈ N*) ，則{ an} 的通項公式是 ________ ． 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 錯解 由 Sn＝ 3 an ＋ 1＋ 2 得， Sn － 1＝ 3 an＋ 2 ， ① 兩式相減，整理得 an ＋ 1＝43an， 即an ＋ 1an＝43. 所以數(shù)列 { an} 是以43為公比的等比數(shù)列， 所以 an＝??????43n － 1. ② [ 錯因 ] ① 處：忽略了條件 n ≥ 2 ，應分類求解． ② 處：誤以為數(shù)列 { a n } 是從第一項起的等比數(shù)列，寫出錯誤結果 a n ＝??????43n － 1. 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 [ 正解 ] 由 Sn＝ 3 an ＋ 1＋ 2 得當 n ≥2 時， Sn － 1＝ 3 an＋ 2 ， 兩式相減，整理得 an ＋ 1＝43an( n ≥ 2) ， 即an ＋ 1an＝43( n ≥ 2) ． 又由 Sn＝ 3 an ＋ 1＋ 2 得 a2＝－13， 由于a2a1＝－13≠43，所以數(shù)列 { an} 是從第二項起以43為公比的等比數(shù)列， 所以 an＝????? 1 （ n ＝ 1 ），－13??????43n － 2（ n ≥2 ） . 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 自我檢評 ( 1) 數(shù)列 { an} 的前 5 項為 1 ， 1 ，32， 2 ，52，則數(shù)列 { an} 的一個通項公式 an＝ ________ ． ( 2) [ 2020 太原模擬 ] 數(shù)列 { an} 的前 n 項和 Sn滿足 Sn＝2 nn ＋ 1，則 an＝ ___ _____ ． 返回目錄 多元提能力 第 28講 數(shù)列的概念與簡單表示法 [ 答案 ]