高考數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)北師大版第5章(編輯修改稿)
2025-02-04 14:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)列． (2)利用錯(cuò)位相減法求和． 【解】 (1) 證明：將直線 y ＝33x 的傾斜角記為 θ ，則有 t an θ ＝33， s i n θ ＝12. 設(shè) Cn的圓心坐標(biāo)為 ( λn ,0) ，則由題意知rnλn＝12，得 λn＝ 2 rn；同理 λn ＋ 1＝ 2 rn ＋ 1，從而 λn ＋ 1＝ λn＋ rn＋ rn ＋ 1＝ 2 rn ＋ 1，將 λn＝ 2 rn代入，解得 rn ＋ 1＝ 3 rn. 故 { rn} 為公比 q ＝ 3 的等比數(shù)列． (2) 由于 r1＝ 1 ， q ＝ 3 ，故 rn＝ 3n － 1，從而nrn＝ n 31 － n， 記 Sn＝1r1＋2r2＋ … ＋nrn， 則有 Sn＝ 1 ＋ 2 3－ 1＋ 3 3－ 2＋ … ＋ n 31 － n， ① Sn3＝ 1 3－ 1＋ 2 3－ 2＋ … ＋ ( n － 1) 31 － n＋ n 3－ n.② ①② 兩式相減，得 2 Sn3＝ 1 ＋ 3－ 1＋ 3－ 2＋ … ＋ 31 － n－ n 3－ n ＝1 － 3－ n23－ n 3－ n＝32－ ( n ＋32) 3－ n. ∴ Sn＝94－12( n ＋32) 31 － n＝9 － ? 2 n ＋ 3 ? 31 － n4. 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 數(shù)列、解析幾何、不等式是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，將三者密切綜合在一起，強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合命制大型綜合題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問(wèn)題及以函數(shù)作為背景的數(shù)列的綜合問(wèn)題，體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)，該類綜合題的知識(shí)綜合性強(qiáng)，能很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，因而一直是高考命題者的首選． 數(shù)列中的探索性問(wèn)題 探索性問(wèn)題往往需要由給定的條件去探究相應(yīng)的結(jié)論或由問(wèn)題的結(jié)論去尋找相應(yīng)的條件，在解題時(shí)應(yīng)透過(guò)問(wèn)題的表象去尋求、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西． 例 4 (2022 年高考四川卷 ) 設(shè)數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意的正整數(shù) n ，都有 an＝ 5 Sn＋ 1 成立，記 bn＝4 ＋ an1 － an( n ∈ N ＋ ) ． (1) 求數(shù)列 { an} 與數(shù)列 { bn} 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè)數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和為 Rn，是否存在正整數(shù) k ，使得 Rk≥ 4 k 成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù) k ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3) 記 cn＝ b2 n－ b2 n － 1( n ∈ N ＋ ) ，設(shè)數(shù)列 { cn} 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，求證：對(duì)任意正整數(shù) n ，都有 Tn32. 【思路點(diǎn)撥】 本題第 ( 1 ) 問(wèn)中數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式由a n ＝ 5 S n ＋ 1 推出，再代入 b n ＝4 ＋ a n1 － a n可得數(shù)列 { b n } 的通項(xiàng)公式；第 ( 2 ) 問(wèn)中，由 b n 的通項(xiàng)公式知，對(duì) { b n }的前 n 項(xiàng)和 R n 求和，應(yīng)對(duì) n 分奇、偶討論，與 4 k比較大小，可先從特值探索；第 ( 3 ) 問(wèn)中，應(yīng)考慮適度放縮，才能順利求和 ． 【解】 (1) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＝ 5 a1＋ 1 ， ∴ a1＝－14. 又 ∵ an＝ 5 Sn＋ 1 ， an ＋ 1＝ 5 Sn ＋ 1＋ 1. ∴ an ＋ 1－ an＝ 5 an ＋ 1，即 an ＋ 1＝－14an. ∴ 數(shù)列 { an} 成等比數(shù)列，其首項(xiàng) a1＝－14，公比 q ＝－14. ∴ an＝ ( －14)n. ∴ bn＝4 ＋ ? －14?n1 － ? －14?n. (2) 不存在正整數(shù) k ，使得 Rk≥ 4 k 成立． 下面證明：對(duì)任意的正整數(shù) n ，都有 Rn4 n 成立． 由 (1) 知 bn＝ 4 ＋5? － 4 ?n－ 1. ∵ b2 k － 1＋ b2 k＝ 8 ＋5? － 4 ?2 k － 1－ 1＋5? － 4 ?2 k－ 1 ＝ 8 ＋516k－ 1－2016k＋ 4 ＝ 8 －15 16k－ 40? 16k－ 1 ?? 16k＋ 4 ? 8. ∴ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè) n ＝ 2 m ( m ∈ N ＋ ) ． 則 Rn＝ ( b1＋ b2) ＋ ( b3＋ b4) ＋ … ＋ ( b2 m － 1＋ b2 m) 8 m ＝ 4 n ； 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，設(shè) n ＝ 2 m － 1( m ∈ N ＋ ) ， 則 Rn＝ ( b1＋ b2) ＋ ( b3＋ b4) ＋ … ＋ ( b
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