第四章167111導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-資料下載頁
2025-11-08 17:14本頁面
【導(dǎo)讀】率f′大于零還是小于零？問題4：f＝x2－2x－2在上單調(diào)性如何？1．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′，知，f′＝0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點處都滿足f′>0.[例2]已知函數(shù)f＝x3－ax＋6.[精解詳析]由題意f′＝3x2－a，由不等式恒成立求參數(shù)范圍；
【正文】 12x－ 8的單調(diào)性，證明 f(x)≤0. [精解詳析 ] 設(shè) f(x)＝ x3－ 6x2＋ 12x－ 8， 則 f′(x)＝ 3x2－ 12x＋ 12＝ 3(x2－ 4x＋ 4)＝ 3(x－ 2)2. (4分 ) ∵ x≤2時， f′(x)≥0恒成立， (6分 ) ∴ f(x)在 (－ ∞， 2]上是增加的， (8分 ) ∴ x≤2時， f(x)≤f(2)＝ 0， (10分 ) 即 x3－ 6x2＋ 12x－ 8≤0， 即 x3－ 6x2≤－ 12x＋ 8. (12分 ) [一點通 ] 要證明不等式 g(x)＞ φ(x)(或 g(x)≥φ(x))成立，可以構(gòu)造函數(shù) f(x)＝ g(x)－ φ(x)，然后再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) f(x)＝ g(x)－ φ(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性獲得 f(x)＞ 0(或 f(x)≥0)，從而證明了不等式 g(x)＞ φ(x)(或 g(x)≥φ(x))． 6．求證： sin xx， x∈ (0， π)． 證明： 令 f(x)＝ sin x－ x， ∴ f′(x)＝ cos x－ 1， ∵ x∈ (0， π)， ∴ cos x∈ (－ 1,1)， ∴ f′(x)＝ cos x－ 10， ∴ f(x)在 (0， π)上是減少的， ∴ f(x)f(0)＝ 0， 即 sin x－ x0， ∴ sin xx. 7．已知 x0，求證： ex1＋ x. 證明： 令 g(x)＝ ex－ 1－ x，則 g(0)＝ 0. ∴ g′(x)＝ ex－ 1. 當(dāng) x0時， g′(x)＝ ex－ 10， ∴ g(x)在 (0，＋ ∞)上為增加的． ∴ g(x)g(0)， ∴ ex－ 1－ x0， ∴ ex1＋ x. 1．函數(shù)的單調(diào)性相同的單調(diào)區(qū)間不只一個時，在寫結(jié)論時，要用 “， ”或 “和 ”隔開，不能用 “∪ ”連接． 2．利用分離參數(shù)求解恒成立問題，不要忘了驗證等號是否成立． 點擊下圖進入“應(yīng)用創(chuàng)新演練”
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