無窮級數(shù)與微分方程相關(guān)知識簡介-資料下載頁
2025-02-19 18:02本頁面
【正文】 齊次方程 0)()( ?????? yxQyxPy的兩個解 , 也是該方程的解 . )()( 2211 xyCxCy ??則 ),( 21 為任意常數(shù)CC定理 1. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 2. )(),( 21 xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線 性無關(guān)特解 , 則 )()( 2211 xyCxyCy ??數(shù) ) 是該方程的通解 . 例如 , 方程 0???? yy有特解 ,cos1 x? ,sin2 ?且 ?常數(shù) , 故方程的通解為 xCxCy sincos 21 ??(自證 ) xy tan2 ?1y 為任意常21 ,( CC),(0 為常數(shù)qpyqypy ?????? ,02 ??? qrpr特征方程 : xrxr eCeCy 21 21 ?? 21 ,: rr特征根 21 rr ?實根 221 pr ??? xrexCC 1)( 21 ??? i, ?2 )sincos( 21 xCxCy x ??? ??特 征 根 通 解 二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解 例 9. 032 ?????? yyy求方程的通解 . 解 : 特征方程 ,0322 ??? rr特征根 : 3,1 21 ??? rr因此原方程的通解為 xx eCeCy 321 ??例 10. 求解初值問題 0dd2dd22??? ststs,40 ??ts 20d ???tts解 : 特征方程 0122 ??? rr有重根 ,121 ??? rr因此原方程的通解為 tetCCs ?? )( 21利用初始條件得 ,4?C于是所求初值問題的解為 tet ?? )24(22*例 11. 052 ?????? yyy求方程的通解 . 解 : 特征方程 ,0522 ??? rr特征根 : ir 212,1 ??因此原方程通解為 )2sin2cos( 43 xCxCeyx ??例 12. .3 2線性方程數(shù)齊次為一個特解的二階常系寫出以 xxey ?解：因 xxey 23?是一個特解，所以 2??是特征 方程的重根，故特征方程為： 0440)2(22 ?????? rrr所對應(yīng)微分方程為 044 ?????? yyy二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程 的一個特解 , )(*)( xyxYy ??Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解 , 定理 3. )()()( xfyxQyxPy ??????則 是非齊次方程的通解 . ② ① (2) 若 ? 是特征方程的 單根 特解形式為 xm exQxy ?)(* ?(3) 若 ? 是特征方程的 重根 特解形式為 xm exQxy ?)(2(1) 若 ? 不是特征方程的根 特解形式為 .)( xQe mx?? 式時，非齊次方程特解形)()( xPexf mx??1332 ??????? xyyy寫出方程的特解形式 . 解 : 本題 而特征方程為 ,0322 ??? rr不是特征方程的根 . 特解形式為 ,* 10 bxby ??0?? ,0?例 13. xexyyy 265 ??????寫出方程例 13. 的特解形式 . 解 : 本題 ,2而特征方程為 ,0652 ??? rr 3,2 21 ?? rr其根為 特解形式為 xebxbxy 210 )(* ??三、微分方程應(yīng)用 1. 利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程 2. 利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程 3. 利用牛頓第二定律 求所滿足的微分方程 . *例 14. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 Q PQxyo解 : 如圖所示 , ?? yYy??1)xX ?令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標(biāo) yyxX ??? ,xyyx ?????即 02 ??? xy點 P(x, y) 處的法線方程為 且線段 PQ 被 y 軸平分 , 例 15. 成正比 , 求 解 : 根據(jù)牛頓第二定律列方程 ?tvm dd00 ??tv初始條件為 對方程分離變量 , mtvkmgv dd ????然后積分 : 得 Cmtvkgmk ???? )(ln1 )0( ?? vkgm此處利用初始條件 , 得 )(ln1 gkC ??代入上式后化簡 , 得特解 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時 ( t = 0 ) 速度為 0, )1tmkek gmv???vk?設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系 . kmgv ?t 足夠大時
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