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應(yīng)用微積分授課教案-資料下載頁

2024-10-04 15:13本頁面
  

【正文】 正整數(shù),對函數(shù)y=,類似地推導(dǎo),有y′=()′=.以后將證明,對任意實(shí)數(shù)α,冪函數(shù)y=有導(dǎo)數(shù)公式y(tǒng)′=()′=.特別地,當(dāng)α=1時(shí),的導(dǎo)數(shù)為=1.例3 求常量函數(shù)y=C的導(dǎo)數(shù).解 對任意一點(diǎn)x,若自變量的改變量為Δx,則總有Δy=CC=,由導(dǎo)函數(shù)的表示式()式即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.例4 證明: 若,則y′=cosx;并求.證 設(shè)自變量在x處有改變量Δx,則,于是,由()式在上述求極限時(shí),用了第一個(gè)重要極限和余弦函數(shù)的連續(xù)性.將x=0,x=分別代入y=sinx的導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式中,得, .同樣方法可證: 若y=cosx,則y′=sinx.例5 證明: 若y=,則y′=lna.證 由()式.這里,用了極限 .特別地,有2. 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)既然極限問題有左極限、右極限之分,而函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是用一個(gè)極限式定義的,自然就有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)問題.若以和分別記函數(shù)在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),則應(yīng)如下定義=,或 =,=,或 =.由函數(shù)極限存在的充分必要條件可知,函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系有下述結(jié)論:函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)且=A的充分必要條件是它在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)皆存在且都等于A,即=A=A= ()例6 討論函數(shù)=|x|在x=0處是否可導(dǎo).解 按絕對值定義,|x|=這是分段函數(shù),x=0是其分段點(diǎn)(圖23).圖23先考察函數(shù)在x=0的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù).由于f(0)=0,且==1,==1.因≠,所以函數(shù)=|x|在x=0處不可導(dǎo).若在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),并且在區(qū)間的左端點(diǎn)a右導(dǎo)數(shù)存在、[a,b]上可導(dǎo).例3 討論函數(shù)=在x=0處是否可導(dǎo).解 這是分段函數(shù),x==0的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù).因f(0)==0,又==1, ==1,即=.所以函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo),且=1.3. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),由導(dǎo)數(shù)定義的表達(dá)式()式,即=,易看出,在上述極限存在的條件下,由于分母有=0,分子也必然有=0 或.我們有下述結(jié)論:  若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則它在點(diǎn)必連續(xù).需要指出,上述結(jié)論反之則不成立,即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),僅是它在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件,而不是充分條件.例如,前述例6,函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo),但在x=0處卻是連續(xù)的(見圖23).4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義按前述,由導(dǎo)數(shù)定義可知: 函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)(,)處的切線斜率.若曲線在處的切線傾角為α(α≠),則=tanα. 幾何直觀(圖24)告訴我們:圖24(1) 若>0,由tanα>0知,傾角α為銳角,在處,曲線是上升的,函數(shù)隨x增加而增加;(2) 若<0,由tanα<0知,傾角α為鈍角,在處,曲線是下降的,函數(shù)隨x增加而減少;(3) 若=0,由tanα=0知,切線與x軸平行,這樣的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及解析幾何中直線的點(diǎn)斜式方程,若函數(shù)在處可導(dǎo),則曲線在點(diǎn)(,())().特別,當(dāng)=0時(shí),切線方程為().例7 求曲線=在點(diǎn)(2,8)處的切線方程.解 由例2知′=, ′=,切線方程為或.例8 考察曲線=在點(diǎn)(0,0)處的切線.解 由圖25的幾何直觀可得,這條曲線在原點(diǎn)(0,0)的切線就是y軸,切線方程應(yīng)是x=0,它的傾角α=.圖25由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式顯然,在x=0時(shí),導(dǎo)數(shù)y′=∞.這恰好描述了該曲線在原點(diǎn)(0,0)處的切線斜率tan=∞.一般說來,若函數(shù)在=處有=∞,正說明曲線在點(diǎn)(,)處有垂直于x軸的切線,切線方程為=.5. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)定義知,.在經(jīng)濟(jì)分析中,通常用“邊際”這個(gè)概念來描述一個(gè)變量y關(guān)于另一個(gè)變量x的變化情況.“邊際”表示在x的某一個(gè)值的“邊緣上” y的變化情況,這是y的瞬時(shí)變化率,.我們以總成本和邊際成本為例來說明邊際概念.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本是指生產(chǎn)最后增加的那個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本。或者說,邊際成本就是每增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)品而使總成本變動(dòng)的數(shù)值. 邊際成本記作.若用初等數(shù)學(xué)(即離散的情況)表達(dá), 總成本與邊際成本的關(guān)系見下表.產(chǎn)量(Q) 總成本(C) 邊際成本 0123456 8 20 1230 1036 640 445 560 15上表說明,生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是8(當(dāng)Q=0時(shí)),生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品,總成本為C=20,即生產(chǎn)第一個(gè)產(chǎn)品所花費(fèi)的成本為12,因而,生產(chǎn)第一個(gè)產(chǎn)品的邊際成本=12. 生產(chǎn)兩個(gè)產(chǎn)品,總成本為C=30,即生產(chǎn)第二個(gè)產(chǎn)品所花費(fèi)的成本為10,因而,生產(chǎn)第二個(gè)產(chǎn)品的邊際成本=.在數(shù)學(xué)中,假設(shè)總成本函數(shù)是連續(xù)的,在此產(chǎn)出水平上,產(chǎn)量增至,則比值就是產(chǎn)量由增至這一生產(chǎn)過程中,每增加單位產(chǎn)量總成本的增量.由于假設(shè)產(chǎn)量是連續(xù)變化的,令,則極限 就表示產(chǎn)量為某一值的“邊緣上”,稱為產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本,記作,即邊際成本就是總成本C對產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù),邊際成本函數(shù)為.按上述討論,一般情況,邊際成本可解釋為:生產(chǎn)第個(gè)單位產(chǎn)品,總成本增加(實(shí)際上是近似的)的數(shù)量,即生產(chǎn)第個(gè)單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本.對其他經(jīng)濟(jì)函數(shù),“邊際”概念有類似的意義,即對經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)而言,因變量對自變量的導(dǎo)數(shù),統(tǒng)稱為“邊際”.例如,對總收益函數(shù),則對的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益,記作MR=167。 導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則一、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式167。,已用導(dǎo)數(shù)定義得到了常量函數(shù)y=C、冪函數(shù)y= (n是正整數(shù))、正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx和指數(shù)函數(shù)y=、y=的導(dǎo)數(shù)公式.其余基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式將在下文中陸續(xù)推導(dǎo)出來.為了使讀者記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和盡快進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,我們先將其全部列舉出來.
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1) (C)′=0 (C為任意常數(shù));(2) (α為任意實(shí)數(shù));(3) ()′=lna (a>0,a≠1);(4) ()′=;(5) (a>0, a≠1);(6) ;(7) ()′=;(8) ()′=;(9) ()′=;(10) ()′=;(11) ()′=;(12) ()′=;(13) ()′=;(14) ()′=;(15) (arctanx)′=;(16) (arccotx)′=.二、 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(四則運(yùn)算法則) 設(shè)函數(shù),都是可導(dǎo)函數(shù),則(1) 代數(shù)和[u(x)177。v(x)]可導(dǎo),且[u(x)177。v(x)]′=u′(x)177。v′(x).(2) 乘積u(x)v(x)可導(dǎo),且[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),特別的,當(dāng)C是常數(shù)時(shí),[Cv(x)]′=Cv′(x).(3) 若v(x)≠0,商可導(dǎo),且[]′=,特別的[]′=.我們只證明乘積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,其他法則可類似證明.證 設(shè)函數(shù)y=u(x)v(x)在點(diǎn)x取得改變量Δx,相應(yīng)的y的改變量.因?yàn)閡=u(x),v=v(x)可導(dǎo),且可導(dǎo)必連續(xù),于是y′==v(x)u′(x)+u(x)v′(x).,對三個(gè)函數(shù)的乘積,有[u(x)v(x)w(x)]′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x).例1 設(shè),求y′.解 由代數(shù)和及乘法法則,可得=()′+(2)′+(sin)′=()′+ ()′+2()′+0=4 + +2()=4 + 2.例2 設(shè),求y′.解 由代數(shù)和及乘法法則,可得 =.例3 證明: 若,則.證 由于已證()′=,()′=,可得=.同樣可證()′=()′==.例4 證明: 若,則.證 由商的導(dǎo)數(shù)法則()′=()′=.同樣可證()′=()′=.例5 設(shè),求y′,y′|x=1.解 由商的導(dǎo)數(shù)法則 =,y′|x=1=|x=1=1.(復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),而函數(shù)在對應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且,或記作 []′==.證 因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo),有.,有,其中當(dāng)Δ→0時(shí),α→Δ≠0,用Δ乘上式兩邊,得Δ.以Δ (≠0)除上式兩端,得 . ()由于在點(diǎn)可導(dǎo),故;又因連續(xù),所以當(dāng)Δ→0時(shí),有Δ→0,從而α→()式右端當(dāng)Δ→0時(shí)的極限存在,而且,即 []′==.當(dāng)Δ =0時(shí),可以證明上式仍然成立.上式就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).說明 符號[]′表示復(fù)合函數(shù)對自變量x求導(dǎo)數(shù),而符號表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)數(shù).例6 設(shè),求y′.解 將已知函數(shù)看成是由下列函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù):=,于是y′==.例7 設(shè),求y′.解 將看成是由下列函數(shù)復(fù)合而成:,于是 =.例8 設(shè),求y′.解 設(shè),,于是.注意 在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),因設(shè)出中間變量,已知函數(shù)要對中間變量求導(dǎo)數(shù),所以計(jì)算式中出現(xiàn)中間變量,最后必須將中間變量以自變量的函數(shù)代換.例9 設(shè)α為實(shí)數(shù),求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 可寫成指數(shù)函數(shù)形式:,于是.這就得到了冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,由,復(fù)合成函數(shù),則,或==.例10 設(shè),求y′.解 設(shè),于是=.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可設(shè)出中間變量,可不寫出中間變量,按復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成層次,.例11 設(shè),求y′.解 =.例12 設(shè),求y′.解 ==.現(xiàn)在,已有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則,因此,在求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只要將其按基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合形式分解,便可求出導(dǎo)數(shù).例13 設(shè),求y′.解 ==.要熟練掌握求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),應(yīng)達(dá)到一步就寫出其導(dǎo)數(shù).例14 設(shè),求y′.解 =.167。 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若因變量用自變量的數(shù)學(xué)式直接表出,即等號一端只有,而另一端是的解析表示式,, 都是顯函數(shù).若兩個(gè)變量與之間的函數(shù)關(guān)系用方程F(, )=0來表示,, ,則可用167。;,通過例題講述直接由隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路.例1 設(shè)由方程=1確定是的函數(shù),求 .分析 按題設(shè),在已給方程中,是自變量,是的函數(shù),而是的函數(shù),若將理解成是中間變量,需用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則.解 將所給方程兩端同時(shí)對自變量求導(dǎo)數(shù),按前述分析,得=0.將上式理解成是關(guān)于′的方程,由此式解出′,便得到對的導(dǎo)數(shù), . 例2 設(shè)由方程=0確定隱函數(shù),求′,′|x=0.解 先求導(dǎo)數(shù)′.將已給方程兩端對求導(dǎo)數(shù),注意到方程中的是的函數(shù),從而y是的復(fù)合函數(shù),于是1 +′+′=0,解出′,得所求導(dǎo)數(shù)′, ′=.再求′|=0.由于在導(dǎo)數(shù)′的表示式中含有,須先將=0代入原方程中,求出與=0+1=0 得=2.于是 ′|=0=′=例3 證明:(1) 若=,則′=;(2) 若=,則′=;(3) 若=,則′=.證 (1) 由于=,∈(1,1),兩端對求導(dǎo),得1=,于是′=.這里,根號前取正號是因?yàn)閥∈時(shí),cosy>0.同樣可證()′=.(2) 由于=,∈(∞,+∞)是正切函數(shù),∈,兩端對求導(dǎo),得1=,于是′==.同樣可證()′=.(3) 由于=,∈(0,+∞)是指數(shù)函數(shù),y∈(∞,+∞),將兩端對x求導(dǎo)數(shù),得1=′,于是′=.至此,我們得到了全部基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.2. 對數(shù)求導(dǎo)法所謂對數(shù)求導(dǎo)法就是將所給函數(shù)兩端取對數(shù),得到隱函數(shù)ln=ln;然后按隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的思路,(或較繁的乘除式子)求導(dǎo)數(shù),可簡化運(yùn)算.例4 求函數(shù)=的導(dǎo)數(shù).解 ,既不能用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,也不能用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.將已知式兩端取對數(shù),得ln=ln,注意到ln是的復(fù)合函數(shù),可得,等式兩端乘以′= (),將已知的表達(dá)式代入,得所求導(dǎo)數(shù)′=
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