【導(dǎo)讀】的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭(zhēng)議。表或撰寫(xiě)過(guò)的成果。對(duì)論文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在。文中以明確的方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由作者承擔(dān)。

　　

【正文】 (2)求： Q 為多少時(shí)總利潤(rùn)最大 ,價(jià)格 ,總收益及總利潤(rùn)為多少 ? 解 :(1)已知廠商的產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Qp ?? 則 QPTR ???? 總收益最大，即要求 ??? TR 所以 15?Q 。 15 導(dǎo)數(shù)方法： 0?dQdTR 即 ??? QdQdT R 得 15?Q 所以 15?Q 時(shí)， TR 最大。 把 15?Q 代入 4Q12P? 得 6P? 總收益 90QPTR ??? 總利潤(rùn) 110???? TCTR? (2) TR ?? 2 ??? TC 582 ?????? TCTR? 總利潤(rùn)最大時(shí)， 082 ???? qdQd? 得 4?Q 把 4?Q 代入 QP ?? 得 ?P 總收益 4 1 .641 0 .4QPTR ????? 總利潤(rùn) 11TCTR ??? 邊際利潤(rùn)函數(shù) 利潤(rùn)函數(shù) C (Q )R (Q )L (Q )L ?? ， 平均利潤(rùn)函數(shù) LQLL )()( ?? 邊際利潤(rùn)函數(shù) )()()( 39。39。39。 QCQRQL ?? )( 039。 QL 稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量為 0Q 時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到 0Q 時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品， 則利潤(rùn)將相應(yīng)增減 )( 039。 QL 單位。 16 在以上的定義中我們都發(fā)現(xiàn)不管是邊際成本、邊際利潤(rùn)，都是導(dǎo)數(shù)的一些很簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率的問(wèn)題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多問(wèn)題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來(lái)，用我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以研究并解決。 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義可以解釋為：用增加一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的一個(gè)單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來(lái)的影響是多少。比如邊際替代率：邊際替代率的概念是這樣來(lái)定義的：為了維持原有的滿(mǎn)足程度不變，消 費(fèi)者為增加一單位商品 x而必須放棄的商品 y的數(shù)量。用公式表示就是： xy????MRS 5 微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 微積分解決物理問(wèn)題時(shí)的微元選 物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速直線運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)。實(shí)際中的復(fù)雜問(wèn)題，則可以化整為零，把它分割成在小時(shí)間、小空間范圍內(nèi)的局部問(wèn)題，只要局部范圍被分割到無(wú)限小，小到這些局部問(wèn)題可近似處理為簡(jiǎn)單的可研究的問(wèn)題， 把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來(lái)，就是問(wèn)題的結(jié)果。 微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)普遍，有許多重要的物理概念 ，物理定律就是直接以微積分的形式給出的，如速度 dtrdv ??? ， 加速度dtvda ??? ， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2rdmI ? ?? ， 安培定律 BlIdFd??? ?? ， 電磁感應(yīng)定律dtdN ???? 在用積分求解物理問(wèn)題中涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問(wèn)題，有時(shí)積分或積分變量選 得好，計(jì)算就變得很方 17 便和簡(jiǎn)單，否則就難于計(jì)算甚至求不出結(jié)果。 在應(yīng)用微積分方法解物理問(wèn)題時(shí)，微元的選取非常關(guān)鍵，選的恰當(dāng)有利于問(wèn)題的分析和計(jì)算，其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似 處理成簡(jiǎn)單基本的物理模型，以便于分析物理問(wèn)題；其二要盡量把微分 選取的大，這樣可使積分運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，因?yàn)槲⒎趾头e分互為逆運(yùn)算，微分微的越細(xì)，越精確，但積分越繁瑣，計(jì)算工作量較大，所以還要在微分和積分這對(duì)矛盾之間協(xié)調(diào)處理。 微元的選取不 是 唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠(yuǎn)比一元積分麻煩。所以在分析物理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用對(duì) 稱(chēng)性，選取適當(dāng)?shù)囊辉⒃?，使積分運(yùn)算簡(jiǎn)單；不管選取怎樣的微元，結(jié)果是相同的，都是問(wèn)題的精確解。由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無(wú)限趨近于零，使得有限范圍內(nèi)的近似值 到無(wú)限小范圍內(nèi)的精確，從而完成了問(wèn)題的精確求解。 求變力沿直線所作的功 設(shè)物體在連續(xù)變力 )(xF 作用下沿 x 軸從 ax? 移動(dòng)到 bx? ， 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行，求變力 所做的功 。 在 ],[ ba 上 任 取 子 區(qū) 間 ],[ dxxx ? ， 在 其 上 所 作 的 功 元 素 為dxxFdW )(? ，因此變力 )(xF 在區(qū)間 ],[ ba 上所作的功為 ?? ba dxxFW )( 例 1 在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，由于氣體的膨脹 , 把容器中的 一個(gè)面積為 S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處， 18 求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所作的功 。 解：建立坐標(biāo)系，由波義耳 — 馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反 ，即比xSkvkp ??， 故作用在活塞上的力為xkSpF ?? .， 功元素為dxxkF dxdW ?? ， 所求功為 abkxkdxxkW baba ln][l n ??? ? 求側(cè)體壓力 設(shè)液體密度 為 ? ，深為 h 處的壓強(qiáng)： hgp ?? ，當(dāng)平板與水面平行時(shí)，平板一側(cè)所受的壓力位 pAP? ,當(dāng)水平不與水面平行時(shí)，所受側(cè)壓力問(wèn)題就需要用積分解決。 小例： 一 個(gè) 水平橫放的半徑為 R 的圓桶 ,內(nèi)盛半桶密度為 ? 的液體，求 這個(gè) 桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力 。 解： 建立坐標(biāo)系 ,所論半圓的方程為 22 XRy ??? )0( Rx?? 利用對(duì)稱(chēng)性 ， 側(cè) 壓 力 元 素 dxXRxgdp 222 ?? ? ， 端 面 所 受 側(cè) 壓 力 為? ??? R RgdxXRxgP 0 322 322 ?? 引力問(wèn)題 質(zhì)量分別為 1m ， 2m 的質(zhì)點(diǎn)，相距 r， 二者間的引力 大?。? 21rmmkF ?，方向?yàn)?沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線 ， 若考慮 物體 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 , 則需用積分解決 . 小例： 設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為 ? 的均勻細(xì)直棒 ,在 其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M, 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力 。 解： 細(xì)棒上小段 ],[ dxxx ? 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為22 xa dxmkdF ?? ?，故 垂 19 直分力元素為23222222 )(c o s ax dxakmxa axa dxmkadFdF y ?????????? ??， 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為2242 la la lkmF y ??? ? ， 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力 0?xF ， 故 該 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為22412 laak m lF ?? ? 6 結(jié)束語(yǔ) 如果說(shuō)我大學(xué)四年在自己的專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域，也就是數(shù)學(xué)這個(gè)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域內(nèi)有什么重要收獲的話，那“培養(yǎng)出了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣”絕對(duì)是最值得一提的。之所以這么說(shuō)是 因?yàn)樵谂c以前初中、高中同學(xué)的交流中，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都不太喜歡自己的專(zhuān)業(yè)，甚至是討厭自己的專(zhuān)業(yè)，究其原因，有的是因?yàn)樵谔顖?bào)志愿時(shí)未經(jīng)深思熟慮就隨便選了個(gè)專(zhuān)業(yè)，或者根據(jù)父母朋友的意愿選了個(gè)“好找工作的”專(zhuān)業(yè)，后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)并不符合自己的興趣，還有的則是根據(jù)自己的興趣選擇了喜歡的專(zhuān)業(yè)，但他們最初的興趣不但沒(méi)有在大學(xué)四年的學(xué)習(xí)過(guò)程中得到升華，反而被消磨殆盡，這是很可悲的。沒(méi)有學(xué)習(xí)興趣，在別人看來(lái)再好的學(xué)校再好的專(zhuān)業(yè)，對(duì)自己來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)起來(lái)只能是索然無(wú)味，或者說(shuō)至少會(huì)喪失很多學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)有的樂(lè)趣。 我相信“興趣是最好 的老師”，所以我很慶幸自己經(jīng)過(guò)大學(xué)四年的學(xué)習(xí)后，開(kāi)始喜歡上自己的專(zhuān)業(yè)，這種興趣不再是自己初中、高中時(shí)單純喜歡計(jì)算數(shù)學(xué)題目，為自己可以解答難度極大的數(shù)學(xué)題目而開(kāi)心，這種低層次、低境界的興趣在經(jīng)過(guò)大學(xué)四年專(zhuān)業(yè)知識(shí)的打磨之后已經(jīng)逐漸升級(jí)?，F(xiàn)在我的確還會(huì)鐘情于一些數(shù)學(xué)題目的解答，但我會(huì)更關(guān)心題目背后的一些東西，比如它的歷史、來(lái)源、影響、 20 應(yīng)用等等。同時(shí)我也深知，大學(xué)本科階段的這些專(zhuān)業(yè)知識(shí)也不過(guò)是些非常基礎(chǔ)的知識(shí)，即使是在我拿到理學(xué)的學(xué)士學(xué)位之后，若論專(zhuān)業(yè)水平，也只能說(shuō)是比普通的數(shù)學(xué)愛(ài)好者多知道一些，并沒(méi)有什么值得特別 炫耀的，若論實(shí)踐能力和動(dòng)手操作能力，則遠(yuǎn)不如該專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)科學(xué)生以及教師。說(shuō)這么多只是想提醒自己，要學(xué)的東西還太多！ 參考文獻(xiàn) [1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室 ． 高等數(shù)學(xué)（第四版）【 M】 .北京：高等教育出版社 .1993 [2] 數(shù)學(xué)分析 .上冊(cè) .華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編（第三版）【 M】 . .北京：高等教育出版社 .2020 [3] 李文林 ， 數(shù)學(xué)史概論（第二版） 【 M】 ， 北京：高等教育出版社 ， 2020，（ 8）： 144196。 [4] 鄧東皋，孫小禮，張祖貴，數(shù)學(xué)與文化 【 M】 ，北京：北京大學(xué)出版社 ， 1990，（ 5）： 369378。[5] 高鴻業(yè) .西方經(jīng)濟(jì)學(xué)（第五版） 【 M】 .北京 :中國(guó)人民大學(xué)出版社 ,2020,8. 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