微積分在物理學(xué)上應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-04-04 02:24本頁(yè)面
【正文】 M1+M2dθ=Iωdω 0θ0[(r2ρgsinθ)+θr2ρg]dθ=0ω(πrρ)r2ωdω解得 v=rgπ(θ022cosθ0+2當(dāng)我們遇到這樣的題目，要善于在題目中間找到等價(jià)關(guān)系，靈活的運(yùn)用微積分和定理之間的關(guān)系更有利于我們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題。該題利用角動(dòng)量定理，再對(duì)其進(jìn)行積分，以此求出速度v。 微積分在靜電場(chǎng)方面的應(yīng)用設(shè)真空中的電荷為q，P點(diǎn)位于空間一點(diǎn)，r為從q到P點(diǎn)的矢徑。P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為 E=Fq0=14πε0qr2r0由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E=E1=14πε0q1r12r0由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度E=dE=dq4πε0r0 設(shè)真空中的電荷為q，P點(diǎn)位于空間一點(diǎn)，r為從q到P點(diǎn)的矢徑。P點(diǎn)的電勢(shì)為VP=P∞E?dl=q4πε0r由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間P點(diǎn)處的電勢(shì)VP=14πε0q1r1由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間P點(diǎn)處的電勢(shì)VP=P∞E?dl例1：在一半徑為R的非導(dǎo)體細(xì)圓環(huán)上，電荷的線密度λ=λ0cosφ，式中λ0為正的常數(shù)，如圖所示，φ為方位角，求環(huán)心處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。解：在圓環(huán)上取一線元dl，其上電荷可視為點(diǎn)電荷，在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為 dE0=λdl4πε0R2=λ0cosφRdφ4πε0R2 =λ0cosφdφ4πε0R 其方向如圖（3）所示 又 dE0=dExi+dEyj =dEcos(φ+π)i+dEsin(φ+π)j =dEcosφidEsinφj所以 E0=dEcosφidEsinφj =λ0cosφ2dφ4πε0Riλ0cosφsinφdφ4πε0R (3) =λ04ε0Ri圓心0處的電勢(shì)為 V0=dV0=02πλdl4πε0R=02πλ0cosφdφ4πε0R=0例2:如圖所示，一半徑為R的均勻帶電圓盤(pán)，電荷面密度為σ0，在其軸線上有一點(diǎn)電荷q00，距盤(pán)中心為x，求二者的相互作用能。解：在盤(pán)上取一半徑為r，寬為dr的環(huán)帶，此環(huán)帶電荷在點(diǎn)電荷處產(chǎn)生的電勢(shì) dVP=σ2πrdr4πε0(x2+R2)12則盤(pán)上所有電荷在點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢(shì) VP=dVP=0Rσ2πrdr4πε0(x2+R2)12=σ2ε0（x2+R2x）因此，得二者之間的相互作用能為 U=q0VP=q0σ2ε0(x2+R2x)
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