定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(1)-資料下載頁(yè)
2025-04-29 06:12本頁(yè)面
【正文】 ,(tytx??設(shè).)]()([)()()()(2322 ttttttK??????????????????,)( )(dd ttxy ?? ???? .)( )()()()(dd 322tttttxy??????????????,)1(||232yyK?????二階可導(dǎo) , 由公式 定積分的幾何應(yīng)用 45 定義 D ?.1 ??? KDM(circle of curvature) 使 曲率圓 . 曲率中心 , 曲率半徑 . 設(shè)曲線 y = f (x) 在點(diǎn) M(x, y)處的曲率為 K (K≠ 0). 在點(diǎn) M處的曲線的法線上 , 在凹的一側(cè)取一點(diǎn) D, 以 D為圓心 , 為半徑作圓 (如圖 ). ?稱此圓為曲線在點(diǎn) M處的 xyO)(xfy ?D K1??M曲率圓與曲率半徑 定積分的幾何應(yīng)用 46 (1) 曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的 ,1K??(2) 曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大 ,曲線在該點(diǎn)處 (3) 曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似代替該點(diǎn) 注 .1??K曲率半徑越小 ,曲率越大 (曲線越彎曲 ). 的曲率越小 (曲線越平坦 )。 附近曲線弧 (稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似 ). 曲率互為倒數(shù) , 即 定積分的幾何應(yīng)用 47 五、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 )( xfy ?ba],[ bax ?? ? 2d 2 ( ) 2 ( ) 1 ( )S f x d s f x f x d x?? ?? ? ?xx d?采用元素法 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 ),( xfy ?直線 bxax ?? , 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 , 側(cè)面積為多少 ? 取積分變量為 x, 上任取小區(qū)間在 ],[ ba],d,[ xxx ? xd取以 為底的 小曲邊梯形 繞 x 軸 旋轉(zhuǎn)而 成的薄片的 側(cè)面積元素 O xyx定積分的幾何應(yīng)用 48 ? ? 22 ( ) 1 ( )baS f x f x d x? ????從而 ,側(cè)面積為 例 求曲線 ? ?( s i n ) , ( 1 c o s ) 0 2x a t t y a t t ?? ? ? ? ? ?繞直線 旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 . 2ya?? ?202222022322 c o s si n2 2 3S a y d st t aa d t???????????定積分的幾何應(yīng)用 49 求在直角坐標(biāo)系下、極坐標(biāo)系下平面圖形 （注意恰當(dāng)?shù)?選擇積分變量 有助于簡(jiǎn)化積分 分平面圖形的方法有 : 分豎條 ,分橫條 , 分成扇形 ,分成圓環(huán) . 的面積 . 運(yùn)算） 六、小結(jié) 旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面面積為已知的立體的體積 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周 ???定積分的幾何應(yīng)用 50 平面曲線弧長(zhǎng)的概念 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程情形下 極坐標(biāo)系下 求弧長(zhǎng)的公式 ?????定積分的幾何應(yīng)用 曲率的計(jì)算公式 曲率圓 ,曲率半徑的概念 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 51 思考題 1 的引拋物線上的點(diǎn)從拋物線 22 1 xyPxy ???點(diǎn)的所圍成的面積與證明該切線與 Pxy 2?,切線位置無(wú)關(guān) . 設(shè) ),(),( 222111 yxQyxQ 分別表示 從點(diǎn) ),( 00 yxP 向拋物線 2xy ?引出的兩條切線的切點(diǎn) . 2xy ? 在點(diǎn) ),( 111 yxQ 的切線方程 : )(2 111 xxxyy ???即 )(2 1121 xxxxy ???又 1200 ?? xy00? ,101 ?? xx 101 ?? xx12 ?? xy2xy ? ),( 111 yxQ),( 222 yxQ),( 00 yxP?21x解 O xy定積分的幾何應(yīng)用 52 ),(2 111 xxxyy ??? ,101 ?? xx 101 ?? xx于是切線 21 , PQPQ 的方程分別為 200 )1()1(2 ???? xxxy200 )1()1(2 ???? xxxy212 , PQPQxy 及由 ? 所圍圖形的 面積為 ?A ?2x0x xxxxx d])1()1(2[ 2002 ??????0x1x xxxxx d])1()1(2[ 2002 ????10?10?.32? 可見 0xA與 無(wú)關(guān) , ),( 00 yxPA 與點(diǎn) 位置無(wú)關(guān) . 12 ?? xy2xy ? ),( 111 yxQ),( 222 yxQ),( 00 yxP?O xy定積分的幾何應(yīng)用 53 思考題 2 解答 僅僅有曲線連續(xù)還不夠 , 不一定 . 必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng) . 閉區(qū)間 [a, b]上的連續(xù)曲線 y = f (x)是否 一定可求長(zhǎng) ? 定積分的幾何應(yīng)用 54 作業(yè) 習(xí)題 (233頁(yè) ) (A)1.(2) 2.(2) 7. (B) (B) 2. 3. 4(3) 6(3) 定積分的幾何應(yīng)用
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