定積分的幾何應(yīng)用舉例-資料下載頁
2025-04-29 05:41本頁面
【正文】 024262? ???????????????????? aa? ??????? ? ??302d3si na)30( ?? ??例 6 求阿基米德螺線 ?? a? )0( ?a 上相應(yīng)于 ? 從 0 到 ?2 的弧長 . 解 ,a????? ???? ?? ????? d)()( 22s? ?.)412l n (4122 22 ???? ?????? a?? ?? ? ??20 222 daa ? ?? ? ??20 2 d1a? ???? ?? ????? 20 22202 d1]1[a平面曲線弧長的概念 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程情形下 極坐標(biāo)系下 弧微分的概念 求弧長的公式 ?????小結(jié) 思考題 閉區(qū)間 ],[ ba 上的連續(xù)曲線 )( xfy ?是否一定可求長？思考題解答 不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長． ?? 2c o sc o s21 ??)2c o s1(21 ??a a2o xy?? d)c o s1(21 22 ?? a例 計算心形線 與圓 所圍圖形的面積 . 解 利用對稱性 , 2? 221 aA ????? 2221 aa? ??? d)2c o s21c o s223( ??所求面積 )243(21 22 ??? ?? aa練習(xí)： 計算心形線 的內(nèi)部 與圓 外部所圍圖形的面積 . 練習(xí) 求心形線 ? =a(1+cos? ) 的內(nèi)部與圓 ? = a的外部 所圍圖形 的面積 . 設(shè)拋物線的軸平行于 x 軸，開口向左，且通過原點(diǎn)與點(diǎn) (2,1)，求它與 y 軸之間面積為最小的拋物線方程 . 思考題 設(shè)曲線 )( xfy ? 過原點(diǎn)及點(diǎn) )3,2( ，且 )( xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與 x 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積是另一條平行線與 y 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積的兩倍，求曲線方程 . 思考題解答 1S2Sx y o )( xfy ?),( yxM12 2 SS ??? x dxxfS 02 )(?????? x dxxfxySxyS 021 )(])([2)( 00 ?? ??? xx dxxfxydxxf,2)(3 0 xydxxfx ?? ? 兩邊同時對 求導(dǎo) yxyxf ??? 22)(3 yyx ??? 2積分得 ,2 cxy ?因?yàn)榍€ )( xfy ? 過點(diǎn) )3,2(29?? c,292 xy ?? 因?yàn)?)( xf 為單調(diào)函數(shù)所以所求曲線為 .223 xy ?練習(xí) 求由曲線 圍成的圖形繞 y 軸旋 轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積 . 求半徑為 r 高為 h 的球缺的體積 . 在一半徑為 R 的球內(nèi)以直徑為軸打一個半徑為 r 的圓孔 (rR)，求剩下部分的體積 . 22( 2 ) 1xy? ? ?例 .,1243體積求其軸的每個截面都為半圓直于且垂軸所圍成的三角形軸、和設(shè)一立體的底面為直線xyxyx ??例 3 求擺線 )si n( ttax ?? ， )c o s1( tay ?? 的一拱與 0?y 所圍成的圖形分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積 . 解 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積xxyV ax d)(220?? ? ?? ???? ?? 20 22 d)c o s1()c o s1( ttata? ???? ?? 20 323 d)c o sc o s3c o s31( tttta.5 32 a??? ?a?2a?)(xy繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差 .yyxV ay d)(220 2?? ? yyxa d)(220 1?? ?oyxa?2 ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?? ??? ??? 2 22 ds i n)s i n( ttatta? ??? ?? 0 22 ds i n)s i n( ttatta? ??? ?? 20 23 ds i n)s i n( tttta .6 33 a??? ?
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