[工學]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介-資料下載頁
2025-08-17 01:32本頁面
【正文】 個常用的手法是將()與()比較，對“攝動”及加上一定的條件，就可以保證對于某些類型的奇點，()在O(0，0)的鄰域的軌線分布情形與(). 如果在一次近似()中，有且O(0，0)為其結點(不包括退化結點及臨界結點)、鞍點或焦點，又與在O(0，0)的鄰域連續(xù)可微，且滿足 ， ()則系統()的軌線在O(0，0)附近的分布情形與()的完全相同. 當O(0，0)為()的退化結點、臨界結點或中心時，條件()不足以保證()在O(0，0)的鄰域的軌線分布與()的軌線分布情形相同，還必須加強這個條件，我們不再列舉了.為了說明極限環(huán)的概念，先看看下面的例子.例1 考察方程組 ()的軌線分布. 解 將方程（）的第一個方程兩端乘以x，第二個兩端乘以y，然后相加得到 ()作極坐標變換，由，微分之，則得所以()可寫成或 ()其次，將方程組()的第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得由，微分之，可知 ()于是原方程()經變換后化為 ()積分所得方程().易于看出，方程組()有兩個特解：r =0， r =1其中r =0對應()奇點，而r =1對應于()的一個周期解，它所對應的閉軌線是以原點為中心以1為半徑的圓.進一步求方程組的通解，得 或為于是方程()的軌線分布如圖(518). 從方程組()的相圖上可看出，軌線分布是這樣的： (1) (0，0)為奇點，為一閉軌線. (2) 閉軌線的內部和外部的軌線，當t→+∞時分別盤旋地趨近于該閉軌線.，當時沒出現其他的軌線當t→177?！?，上例中的閉軌線以及它附近的軌線的分布情形，.圖 518 設系統 ()，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當t→＋∞或t→－∞時趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為()的一個極限環(huán). 極限環(huán)C將相平面分成兩個區(qū)域：內域和外域. 如果極限環(huán)C的內域的靠近C的軌線當t→+∞(∞)時盤旋地趨近于C(圖519)，則稱C是內穩(wěn)定(內不穩(wěn)定的)；如果在極限環(huán)C的外域的靠近C的軌線當t→+∞(－∞)時盤旋地趨近于C(圖520)，側稱C是外穩(wěn)定的(外不穩(wěn)定的)；如果當t→＋∞(－∞)時，C的內部及外部靠近C的軌線都盤旋地趨近于C，則稱C是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的) (如圖521(a)),如果當t→＋∞(－∞)時，C的內外部的穩(wěn)定性相反，則稱C為半穩(wěn)定的 (圖521(b)). 圖 519 圖 520(b)圖 521易于看出，例1中的軌線是穩(wěn)定的極限環(huán). 極限環(huán)的存在性和不存在性穩(wěn)定的極限環(huán)表示了運動的一種穩(wěn)定的周期態(tài)，它在非線性振動問題 ，我們只敘述下面有關定理，其證明可參閱專著. 設區(qū)域D是由兩條簡單閉曲線L1和L2所圍成的環(huán)域，并且在上系統()無奇點；從L1和L2上出發(fā)的軌線都不能離開(或都不能進入).設L1和L2均不是閉軌線，則系統()在D內至少存在一條閉軌線Γ，它與L1和L2的相對位置如圖522，即Γ在D內不能收縮到一點.圖 522 如果把系統()看成一平面流體的運動方程，那么上述環(huán)域定理表明：如果流體從環(huán)域D的邊界流入D，而在D內又沒有淵和源,.習慣上，把L1和L2分別稱作Poincar233。Bendixson環(huán)域的內、外境界線. 關于平面系統()不存在極限環(huán)的判定準則常用的是下面的定理 (Bendixson判斷)設在單連通區(qū)域G內，系統()的向量場(P，Q) 保持常號，且不在G的任何子域內恒等于零，則系統()在G內無閉軌. (Dulac判斷)設在單連通區(qū)域G 內，系統()的向量場(P，Q)有連續(xù)偏導數，并存在連續(xù)可微函數B(x, y)使得保持常號，且不在G 內任何子區(qū)域內恒為零，則系統()在內無閉軌.例2 討論系統 ()的全局結構.解 (1) 奇點 ()有兩個奇點O(0，0)和E(1，0). 對于奇點O(0，0)，其線性近的方程的系數陣是它的特征根是，顯然是穩(wěn)定焦點.對于奇點E(1，0)，其線性近似方程的系數陣是它的特證根是,顯然E(1，0)是鞍點.(2) 閉軌線.取函數B(x, y)= e2x,有()在xOy平面上無閉軌.
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