【正文】 解 將方程（）的第一個(gè)方程兩端乘以x，第二個(gè)兩端乘以y，然后相加得到 當(dāng)O(0，0)為()的退化結(jié)點(diǎn)、臨界結(jié)點(diǎn)或中心時(shí)，條件()不足以保證()在O(0，0)的鄰域的軌線分布與()的軌線分布情形相同，還必須加強(qiáng)這個(gè)條件，我們不再列舉了. 圖 510 ()當(dāng)t∈[0,t1]時(shí), 由解對(duì)初值的連續(xù)相依性, 對(duì)上述，存在δ1 0，當(dāng)時(shí), 取，綜合上面討論知，當(dāng)時(shí)有, 即是穩(wěn)定的.由()知對(duì)任意有，故是漸近穩(wěn)定的.上一節(jié)我們介紹了穩(wěn)定性概念,但是據(jù)此來(lái)判明系統(tǒng)解的穩(wěn)定性,其應(yīng)用范圍是極其有限的.李雅普諾夫創(chuàng)立了處理穩(wěn)定性問(wèn)題的兩種方法:第一方法要利用微分方程的級(jí)數(shù)解,在他之后沒(méi)有得到大的發(fā)展。證明 不失一般性，我們?nèi)〕跏紩r(shí)刻,設(shè)Φ(t)是()的標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣，由第3章內(nèi)容知滿足的解可寫(xiě)成 ()則為了簡(jiǎn)化討論，,作如下變量代換.令()對(duì)所有的成立，則稱(). 若()的零解是穩(wěn)定的，且存在δ10, 使當(dāng)時(shí)有則稱()的零解是漸近穩(wěn)定的.例1 考察系統(tǒng) 的零解的穩(wěn)定性. 解 對(duì)于一切，方程組滿足初始條件,的解為對(duì)任一，取，則當(dāng)時(shí)，有故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的. (2) 不是常負(fù)函數(shù),則系統(tǒng)()的零解是不穩(wěn)定的.習(xí) 題 1. 對(duì)于方程組 試說(shuō)明是正定的,而是常負(fù)的.2. 討論方程組 零解的穩(wěn)定性.3. 討論自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性. 平面自治系統(tǒng)的基本概念本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng) ()以下總假定函數(shù)在區(qū)域 , 上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 相平面、相軌線與相圖我們把平面稱為()的相平面,而把()的解在平面上的軌跡稱為()()的相圖.易于看出,解在相平面上的軌線,用軌線來(lái)研究()的通解常要比用積分曲線方便得多.下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明方程組的積分曲線和軌線的關(guān)系.例 1 很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖53(a)),它經(jīng)過(guò)點(diǎn). 當(dāng)增加時(shí),. 當(dāng)增加時(shí),軌線的方向如圖53(b)所示.另外,易知對(duì)于任意常數(shù),(),它們與解有同一條軌線 (a) (b)圖 53同時(shí),我們可以看出, ,可知軌線對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多條積分曲線.為了畫(huà)出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解 其中, 方程組的軌線就是圓族(圖53(b)).特別,是方程的解,它的軌線是原點(diǎn). 平面自治系統(tǒng)的三個(gè)基本性質(zhì)性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性設(shè)是自治系統(tǒng)()的一個(gè)解,則對(duì)于任意常數(shù),函數(shù) 也是()的解.事實(shí)上,我們有恒等式 由這個(gè)事實(shí)可以推出:將()的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(),自治系統(tǒng)()的一條軌線對(duì)應(yīng)著無(wú)窮多個(gè)解.性質(zhì) 2 軌線的唯一性如果滿足初值解的存在與唯一性定理?xiàng)l件,則過(guò)相平面上的區(qū)域的任一點(diǎn),()存在一條且唯一一條軌線.事實(shí)上,(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們?cè)谙嗫臻g中的投影分別是和(見(jiàn)圖54,這是不妨設(shè)).現(xiàn)在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質(zhì) 1知道,平移后得到的仍是系統(tǒng)()的積分曲線,利用解的唯一性, 與應(yīng)完全重合, 與在相空間顯然也有相同的投影,這蘊(yùn)含和在相平面中的點(diǎn)附近有相同的投影,而這與上面的假設(shè)矛盾. 圖 54性質(zhì) 1和性質(zhì)2說(shuō)明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.此外,由性質(zhì)1同樣還可知道,系統(tǒng)()的解的一個(gè)平移仍是()的解,并且它們滿足同樣的初值條件,從而由解的唯一性知 因此,在()的解族中我們只須考慮相應(yīng)于初始時(shí)刻的解,并簡(jiǎn)記為 , *性質(zhì) 3 群的性質(zhì)系統(tǒng)()的解滿足關(guān)系式 ()其幾何意義是:在相平面上,如果從點(diǎn)出發(fā)的軌線經(jīng)過(guò)時(shí)間到達(dá)點(diǎn),再經(jīng)過(guò)時(shí)間到達(dá)點(diǎn),那么從點(diǎn)出發(fā)的軌線經(jīng)過(guò)時(shí)間也到達(dá)點(diǎn).事實(shí)上,由平移不變性(性質(zhì) 1), 是系統(tǒng)()的解,().對(duì)于固定的,定義平面到自身的變換如下: .: 令 .由(),而且滿足結(jié)合律,其單位元為,()(). 常點(diǎn)、奇點(diǎn)與閉軌現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)(), (),:(1) 若對(duì)一切有 , , 則稱為()(或平衡點(diǎn)).顯然是()的一個(gè)奇點(diǎn)的充分必要條件是 (2) 若存在,使得對(duì)一切有