[工學]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介(文件)
【正文】 ∞(－∞)時，C的內(nèi)外部的穩(wěn)定性相反，則稱C為半穩(wěn)定的 (圖521(b)). (1) (0，0)為奇點，為一閉軌線. (2) 閉軌線的內(nèi)部和外部的軌線，當t→+∞時分別盤旋地趨近于該閉軌線.，當時沒出現(xiàn)其他的軌線當t→177。 從方程組()的相圖上可看出，軌線分布是這樣的： 或為于是方程()的軌線分布如圖(518). ()于是原方程()經(jīng)變換后化為 ()其次，將方程組()的第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得由，微分之，可知 ()作極坐標變換，由，微分之，則得所以()可寫成或為了說明極限環(huán)的概念，先看看下面的例子.例1 ， 因為A的特征根完全由A的系數(shù)確定，下面來研究A的系數(shù)與奇點分類的關系.方程()的系數(shù)矩陣的特征方程為或(5) 閉曲線(x(t), y(t))經(jīng)過變換后，所得曲線仍為閉曲線.由此可見，方程()在各種情況下的軌線，經(jīng)過線性變換后得到方程()的軌線，其結(jié)點型，鞍點型，焦點型，.并且，由于變換后軌線趨向原點的方向不變，所以結(jié)點、焦點的穩(wěn)定性也不改變.于是，系統(tǒng)()的奇點O(0, 0)，當，根據(jù)A的特征根的不同情況可有如下的類型：(3) 如果曲線 (x(t), y(t))當t→＋∞(或t→－∞)時趨向原點，變換后的曲線，當t→＋∞(或t→－∞)時也趨向坐標原點； (1) 坐標原點不變； ()的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況，現(xiàn)在回來研究一般的平面線性系統(tǒng) 消去參數(shù)t，得到軌線的極坐標方程 ，第二個方程乘以y，然后相加，得或?qū)懗梢蚨玫交蚱浯?，對方?)第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得或?qū)懗捎谑堑没? 圖 512所以當軌線接近原點時，正、＜0時，軌線在t→＋∞時趨于奇點，稱這奇點為穩(wěn)定的退化結(jié)點；當λ＞0時，軌線在t→＋∞時遠離奇點，稱這奇點為不穩(wěn)定的退化結(jié)點.(3)當 時，把系統(tǒng)()′寫成純量形式 , 如果在某奇附近的軌線具有如圖57或圖58的分布情形，當異號時，原點O是()的鞍點.(2)當時，把系統(tǒng)()′寫成純量形式就得到 對μ＜0＜λ的情形可以類似地加以討論，軌線分布情形如圖58.圖 58 圖 56如果在某奇點附近的軌線具有如圖56的分布情形，當μ＞λ＞0時，原點O是()的不穩(wěn)定結(jié)點.b)λ，μ異號這時，由于，軌線()是雙曲線型的(參看圖57及圖58).四個坐標半軸也是軌線.先討論λ＜0＜()易于看出當t→＋∞時，動點(x, y)沿正、負x半軸軌線趨于奇點(0，0)，而沿正、負y半軸軌線遠離奇點(0，0).而其余的軌線均在一度接近奇點(0，0)后又遠離奇點(圖57). 圖 55 ()消去參數(shù)t，得軌線方程()求它的通解，得 (3) A的特征根為共軛復根時，(2) A的特征根為重根λ時，由A的初等因子的不同情形，A的標準型J可能有兩種，為方便計，寫成：或(1) 特征根為相異實根λ，μ時， （）由線性變換的理論可知，標準型J的形式由系數(shù)矩陣A的特征根的情況決定： (2) 不是常負函數(shù),則系統(tǒng)()的零解是不穩(wěn)定的.習 題 1. 對于方程組 試說明是正定的,而是常負的.2. 討論方程組 零解的穩(wěn)定性.3. 討論自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性. 平面自治系統(tǒng)的基本概念本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng) ()以下總假定函數(shù)在區(qū)域 , 上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 相平面、相軌線與相圖我們把平面稱為()的相平面,而把()的解在平面上的軌跡稱為()()的相圖.易于看出,解在相平面上的軌線,用軌線來研究()的通解常要比用積分曲線方便得多.下面通過一個例子來說明方程組的積分曲線和軌線的關系.例 1 很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖53(a)),它經(jīng)過點. 當增加時,. 當增加時,軌線的方向如圖53(b)所示.另外,易知對于任意常數(shù),(),它們與解有同一條軌線 (a) (b)圖 53同時,我們可以看出, ,可知軌線對應著無窮多條積分曲線.為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解 其中, 方程組的軌線就是圓族(圖53(b)).特別,是方程的解,它的軌線是原點. 平面自治系統(tǒng)的三個基本性質(zhì)性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性設是自治系統(tǒng)()的一個解,則對于任意常數(shù),函數(shù)
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