[工學(xué)]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介-文庫吧
2025-08-02 01:32 本頁面
【正文】 位置的穩(wěn)定性.解 把()化為等價系統(tǒng) ()()的平衡位置即() )有 即正定, . 知()的零解是穩(wěn)定的,即()的平衡位置是穩(wěn)定的.引理 若是正定(或負(fù)定)的李雅普諾夫函數(shù),且對連續(xù)有界函數(shù)有 則.證明由讀者自己完成.定理 對系統(tǒng)(),若區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足(1) 正定。(2) 負(fù)定,則()的零解漸近穩(wěn)定.證明 知() 的證明過程中的,于是當(dāng)時, ,則由唯一性知,自然有 ,對任意, 從而由的正定性知總成立,那么存在使 假設(shè),聯(lián)系到的單調(diào)性有 知存在使時 ()成立.由條件(2)有 故從()知 對上述不等式兩端從到積分得 該不等式意味著 ,即 由于零解是穩(wěn)定的,所以在上有界,.例 2 證明方程組 ()的零解漸近穩(wěn)定.證明 作李雅普諾夫函數(shù) 有 在區(qū)域上正定, 負(fù)定, 知其零解漸近穩(wěn)定. 最后,我們給出不穩(wěn)定性定理而略去證明.定理 對系統(tǒng)()若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足 (1)正定。 (2) 不是常負(fù)函數(shù),則系統(tǒng)()的零解是不穩(wěn)定的.習(xí) 題 1. 對于方程組 試說明是正定的,而是常負(fù)的.2. 討論方程組 零解的穩(wěn)定性.3. 討論自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性. 平面自治系統(tǒng)的基本概念本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng) ()以下總假定函數(shù)在區(qū)域 , 上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 相平面、相軌線與相圖我們把平面稱為()的相平面,而把()的解在平面上的軌跡稱為()()的相圖.易于看出,解在相平面上的軌線,用軌線來研究()的通解常要比用積分曲線方便得多.下面通過一個例子來說明方程組的積分曲線和軌線的關(guān)系.例 1 很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖53(a)),它經(jīng)過點. 當(dāng)增加時,. 當(dāng)增加時,軌線的方向如圖53(b)所示.另外,易知對于任意常數(shù),(),它們與解有同一條軌線 (a) (b)圖 53同時,我們可以看出, ,可知軌線對應(yīng)著無窮多條積分曲線.為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解 其中, 方程組的軌線就是圓族(圖53(b)).特別,是方程的解,它的軌線是原點. 平面自治系統(tǒng)的三個基本性質(zhì)性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性設(shè)是自治系統(tǒng)()的一個解,則對于任意常數(shù),函數(shù) 也是()的解.事實上,我們有恒等式 由這個事實可以推出:將()的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(),自治系統(tǒng)()的一條軌線對應(yīng)著無窮多個解.性質(zhì) 2 軌線的唯一性如果滿足初值解的存在與唯一性定理條件,則過相平面上的區(qū)域的任一點,()存在一條且唯一一條軌線.事實上,(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們在相空間中的投影分別是和(見圖54,這是不妨設(shè)).現(xiàn)在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質(zhì) 1知道,平移后得到的仍是系統(tǒng)()的積分曲線,利用解的唯一性, 與應(yīng)完全重合, 與在相空間顯然也有相同的投影,這蘊(yùn)含和在相平面中的點附近有相同的投影,而這與上面的假設(shè)矛盾. 圖 54性質(zhì) 1和性質(zhì)2說明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.此外,由性質(zhì)1同樣還可知道,系統(tǒng)()的解的一個平移仍是()的解,并且它們滿足同樣的初值條件,從而由解的唯一性知 因此,在()的解族中我們只須考慮相應(yīng)于初始時刻的解,并簡記為 , *性質(zhì) 3 群的性質(zhì)系統(tǒng)()的解滿足關(guān)系式 ()其幾何意義是:在相平面上,如果從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達(dá)點,再經(jīng)過時間到達(dá)點,那么從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間也到達(dá)點.事實上,由平移不變性(性質(zhì) 1), 是系統(tǒng)()的解,().對于固定的,定義平面到自身的變換如下: .: 令 .由(),而且滿足結(jié)合律,其單位元為,()(). 常點、奇點與閉軌現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)(), (),:(1) 若對一切有 , , 則稱為()(或平衡點).顯然是()的一個奇點的充分必要條件是 (2) 若存在,使得對一切有 則稱為()的一個周期解,稱為閉軌.由以上討論和()軌線的唯一性,我們有如下結(jié)論:自治系統(tǒng)()的一條軌線只可能是下列三種類型之一:(1) 奇點, (2) 閉軌, (3) 自不相交的非閉軌線.平面定性理論的研究目標(biāo)就是:在不求解的情況下,僅從()右端函數(shù)的性質(zhì)出發(fā),在相平面上描繪出其軌線的分布圖,?現(xiàn)在我們從運(yùn)動的觀點給出()的另一種幾何解釋:如果把()看成描述平面上一個運(yùn)動質(zhì)點的運(yùn)動方程,那么()在相平面上每一點確定了一個速度向量 ()因而,()()的軌線就是相平面上一條與向量場(): 積分曲線可以不考慮方向,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標(biāo)明對應(yīng)于時間增大時的運(yùn)動方向.進(jìn)一步,在方程()中消去,得到方程 ()由()易見,經(jīng)過相平面上每一個常點只有唯一軌線,而且可以證明: ,只有在奇點處,向量場的方向不確定.因此,在平面定性理論中,通常從奇點入手,再弄清()是否存在閉軌,因為一條閉軌線可以把平面分成其內(nèi)部和外部,再由軌線的唯一性,對應(yīng)內(nèi)部的軌線不能走到外部,.習(xí)題 通過求解,畫出下列各方程的相圖,并確定奇點的穩(wěn)定性:(1) (2) (3) (4) 平面定性理論簡介 本節(jié)將對如何獲得平面系統(tǒng)()的整體相圖結(jié)構(gòu)作一簡單介紹. 初等奇點附近的軌線分布前面我們已經(jīng)得到，奇點是動力
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