[工學(xué)]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介(已修改)
2025-08-29 01:32 本頁面
【正文】 第5章 定性和穩(wěn)定性理論簡介 在19世紀(jì)中葉,通過劉維爾的工作,那么是否可以不求微分方程的解,而是從微分方程本身來推斷其解的性質(zhì)呢?(Poincar233。,18541912)在19世紀(jì)80年代所創(chuàng)立，后者由俄國數(shù)學(xué)家李雅普羅夫(Liapunov,18571918),直接根據(jù)微分方程本身的結(jié)構(gòu)和特點,.5．1 穩(wěn)定性概念考慮微分方程 ()其中函數(shù)對和t(∞,+∞)連續(xù)，對滿足局部李普希茲條件. 設(shè)方程()對初值(t0,x1)存在唯一解，：當(dāng)很小時，差的變化是否也很小?本章向量的范數(shù)取.如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對初值的連續(xù)依賴性，那么解對初值不一定有連續(xù)依賴性(見下面的例3)，這就產(chǎn)生了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念.如果對于任意給定的和都存在，使得只要滿足就有對一切tt0成立，則稱().假設(shè)是穩(wěn)定的，而且存在，使得只要滿足就有則稱()的解是漸近穩(wěn)定的.為了簡化討論，,作如下變量代換.令 ()則于是在變換()下，將方程()化成 ()()的解的穩(wěn)定性問題就化為()的零解y=，我們可以在下文中只考慮()的零解x=O的穩(wěn)定性，即假設(shè)，并有如下定義: 若對任意和，存在，使當(dāng)時有 ()對所有的成立，則稱(). 若()的零解是穩(wěn)定的，且存在δ10, 使當(dāng)時有則稱()的零解是漸近穩(wěn)定的.例1 考察系統(tǒng) 的零解的穩(wěn)定性. 解 對于一切，方程組滿足初始條件,的解為對任一，取，則當(dāng)時，有故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.然而，由于所以該系統(tǒng)的零解不是漸近穩(wěn)定的.例2 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性.解 在上，取初值為的解為：其中對任一，取，則當(dāng)時，有故該系的零解是穩(wěn)定的.又因為可見該系統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的.例3 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性.解 方程組以為初值的解為 其中. 由于函數(shù)et 隨t 的遞增而無限地增大. 因此,對于任意，不管取得怎樣小，只要t 取得適當(dāng)大時，就不能保證小于預(yù)先給定的正數(shù)，所以該系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)的.例4 考慮常系數(shù)線性微分方程組 ()其中,A是n，若A的所有特征根都具嚴(yán)格負(fù)實部，則()的零解是漸近穩(wěn)定的.證明 不失一般性，我們?nèi)〕跏紩r刻,設(shè)Φ(t)是()的標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣，由第3章內(nèi)容知滿足的解可寫成 ()由A的所有特征根都具負(fù)實部知 ()于是知存在t10，使t，取則當(dāng)時，由()有 , ()當(dāng)t∈[0,t1]時, 由解對初值的連續(xù)相依性, 對上述，存在δ1 0，當(dāng)時, 取，綜合上面討論知，當(dāng)時有, 即是穩(wěn)定的.由()知對任意有，故是漸近穩(wěn)定的.上一節(jié)我們介紹了穩(wěn)定性概念,但是據(jù)此來判明系統(tǒng)解的穩(wěn)定性,其應(yīng)用范圍是極其有限的.李雅普諾夫創(chuàng)立了處理穩(wěn)定性問題的兩種方法:第一方法要利用微分方程的級數(shù)解,在他之后沒有得到大的發(fā)展。第二方法是在不求方程解的情況下,借助一個所謂的李雅普諾夫函數(shù) 和通過微分方程所計算出來的導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì),就能直接推斷出解的穩(wěn)定性,.為了便于理解,我們只考慮自治系統(tǒng) , ()假設(shè)在上連續(xù),滿足局部利普希茨條件,且.為介紹李雅普諾夫基本定理,先引入李雅普諾夫函數(shù)概念. 若函數(shù)滿足,和都連續(xù),且若存在,使在上,則稱是常正(負(fù))的。若在上除外總有,則稱是正(負(fù))定的。既不是常正又不是常負(fù)的函數(shù)稱為變號函數(shù).:函數(shù)在平面上為正定的。函數(shù) 在平面上為負(fù)定的。函數(shù)在平面上為變號函數(shù)。函數(shù) 在平面上為常正函數(shù).李雅普諾夫函數(shù)有明顯的幾何意義.首先看正定函數(shù).在三維空間中, ,即原點接觸(圖51(a)).如果用水平面(正常數(shù))與相交,并將截口垂直投影到平面上,就得到一組一個套一個的閉曲線族 (圖51(b)),由于連續(xù)可微,且,故在的充分小的鄰域中, .對于負(fù)定函數(shù)可作類似的幾何解釋,只是曲面將在坐標(biāo)面的下方.對于變號函數(shù),自然應(yīng)對應(yīng)于這樣的曲面,在原點的任意鄰域,它既有在平面上方的點,又有在其下方的點. 對系統(tǒng)(),若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足(1) 正定。(2) 常負(fù),(a) (b)圖 51則()的零解是穩(wěn)定的.圖 52證明 對任意,記則由正定、連續(xù)和是有界閉集知由和連續(xù)知存在(),使當(dāng)時, ,于是有時, ()若上述不等式不成立,由和的連續(xù)性知存在,當(dāng)時, 而那么由的定義,有 ()另一方面,由條件(2)知在上成立,即時, ()矛盾,即()成立. (圖52為n=2的情況.)例 1 考慮無阻尼線性振動方程 ()的平衡
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