[工學]第5章定性和穩(wěn)定性理論簡介(存儲版)
【正文】 , y(t))當t→＋∞(或t→－∞)時，盤旋地趨向原點，變換后的曲線,當t→＋∞(或t→－∞)時也盤旋地趨向原點.()經(jīng)過線性變換，可化成標準型 圖 516綜上所述，方程組 ()這里假定|μ|＞|λ|，即μ表示特征根中絕對值較大的一個(顯然，這不妨礙對一般性的討論，如|μ|＜|λ|，則只要互換x軸和y軸).a)λ，μ同號這時由于，軌線()是拋物線型的(參看圖55及圖56).同時，由()知x軸的正、負半軸及y軸的正、負半軸也都是()(0，0)是()的奇點以及軌線的唯一性，軌線()()可以看出，當μ＜λ＜0時，軌線在t→＋∞時趨于原點(圖55)；當μ＞λ＞0時，軌線在t→－∞時趨于原點(圖56).另外，我們有于是，當μ＜λ＜0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t→＋∞時趨于零，即軌線以x ＞λ＞0，軌線(除正、負半y 軸外)的切線斜率在t→－∞時趨于零，即軌線以x 軸為其切線當t→－∞時的極限位置.如果在某奇點附近的軌線具有如圖55的分布情形，當μ＜λ＜０時，原點O是()的穩(wěn)定結(jié)點. (1) 當 （λ≠μ）時，系統(tǒng)()′可寫成純量形式 此時方程組()可以寫成向量形式 本節(jié)將對如何獲得平面系統(tǒng)()的整體相圖結(jié)構(gòu)作一簡單介紹.既不是常正又不是常負的函數(shù)稱為變號函數(shù).:函數(shù)在平面上為正定的。 由于函數(shù)et 隨t 的遞增而無限地增大. 因此,對于任意，不管取得怎樣小，只要t 取得適當大時，就不能保證小于預(yù)先給定的正數(shù)，所以該系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)的. ,18541912)在19世紀80年代所創(chuàng)立，后者由俄國數(shù)學家李雅普羅夫(Liapunov,18571918),直接根據(jù)微分方程本身的結(jié)構(gòu)和特點,.5．1 穩(wěn)定性概念考慮微分方程 例3 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性. 函數(shù) 在平面上為常正函數(shù).李雅普諾夫函數(shù)有明顯的幾何意義.首先看正定函數(shù).在三維空間中, ,即原點接觸(圖51(a)).如果用水平面(正常數(shù))與相交,并將截口垂直投影到平面上,就得到一組一個套一個的閉曲線族 (圖51(b)),由于連續(xù)可微,且,故在的充分小的鄰域中, .對于負定函數(shù)可作類似的幾何解釋,只是曲面將在坐標面的下方.對于變號函數(shù),自然應(yīng)對應(yīng)于這樣的曲面,在原點的任意鄰域,它既有在平面上方的點,又有在其下方的點. 對系統(tǒng)(),若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足(1) 正定。 ()()，我們在本節(jié)先研究一類最簡單的自治系統(tǒng)—— ()我們假定其系數(shù)矩陣為非奇異矩陣，即其行列式 (即A不以零為特征根). ()我們研究線性系統(tǒng)()在奇點(0，0)附近軌線分布的方法是，首先應(yīng)用線性變換，把系統(tǒng)()化成標準型，并從化成標準型的方程中求出解來，確定其軌線分布，然后再回過頭來考慮原系統(tǒng)()在奇點附近的軌線分布.(因，特征根不能為零).考察()，為了書寫方便，去掉上標，把()寫成 為了書寫方便，令于是特征方程可寫為下面就分特征根為相異實根，重根及復(fù)根三種情況加以研究： (1) (i) (ii) (2) (3) 復(fù)數(shù)根的實部不為零，奇點為焦點 復(fù)數(shù)根的實部為零，奇點為中心綜合上面的結(jié)論，由曲線，Δ軸及軸把平面分成幾個區(qū)域，不同的區(qū)域，對應(yīng)著不同類型的奇點(圖517).圖 517我們不妨假設(shè)原點O(0, 0)是()的奇點，即P(0, 0)＝Ｑ(0, 0)＝，如果()為()的一個奇點，只要作變換，就可以把奇點移到原點(0，0). 考察方程組 ∞，上例中的閉軌線以及它附近的軌線的分布情形，.圖 518 設(shè)系統(tǒng)圖 極限環(huán)的存在性和不存在性穩(wěn)定的極限環(huán)表示了運動的一種穩(wěn)定的周期態(tài)，它在非線性振動問題 ，我們只敘述下面有關(guān)定理，其證明可參閱專著. 設(shè)區(qū)域D是由兩條簡單閉曲線L1和L2所圍成的環(huán)域，并且在上系統(tǒng)()無奇點；從L1和L2上出發(fā)的軌線都不能離開(或都不能進入).設(shè)L1和L2均不是閉軌線，則系統(tǒng)()在D內(nèi)至少存在一條閉軌線Γ，它與L1和L2的相對位置如圖522，即Γ在D內(nèi)不能收縮到一點.圖 522習慣上，把L1和L2分別稱作Poincar233。 如果把系統(tǒng)()看成一平面流體的運動方程，那么上述環(huán)域定理表明：如果流體從環(huán)域D的邊界流入D，而在D內(nèi)又沒有淵和源,. ()積分所得方程().易于看出，方程組()有兩個特解：r =0， 設(shè)()的右端函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在奇點O(0,0)附近連續(xù)可微，并可以將
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