隨機過程及應用：預備知識：特征函數(shù)-資料下載頁
2025-08-07 11:15本頁面
【正文】 kjkXXCK jkij求 Y=X1+X2的特征函數(shù) . 特征函數(shù) ?),(φ 21, 21 ttXX解 )4322(21)2( 22212121 ttttttje ??????]2[21)( 2222212121212211 ttttttje ??????? ?????),(φ)( 21 , ttt XXY ??263 ttje ??Rte ttj ?? ? ,e212213 故 Y=X1+X2～ N(3,12). 特征函數(shù) 性質 分布函數(shù) 與 恒等的充分必要條件是它們的特征函數(shù) 與 恒等 . ),( 211 xxF ),(212 xxF),(φ 211 tt),(φ 211 tt . 定理 隨機向量 相互獨立的充要條件是其特征函數(shù)滿足 nXXX , 21 ?),(φ 21 nttt ?)(φ1 kXnktk???證明參見 P249. 在上式中特別取 ti = t， i=1,2,… ,n , 有 特征函數(shù) ???)(φ1tkXnk][),(φ )( 1 ntXtXjeEttt ??? ??][ )( 1 nXXtjeE ??? ? )(φ1tnkkX??? 推論 1 設隨機變量 相互獨立 , 令 , 則 Y的特征函數(shù)為 nXXX , 21 ????nkkXY1)(φ)(φ1ttkXnkY ??? 注意： 定理 推論 1的區(qū)別？ 練習： X~U(0,1), P{Y=0}=P{Y=1}=1/2, X,Y相互獨立，試確定 X+Y的分布？ 特征函數(shù) nXXnkYtttk])(φ[)(φ)(φ1???? 隨機變量 Y～ B(n, p), 寫出其特征函數(shù) . 解 二項分布隨機變量 Y可表示為 ???nkkXY1且 Xk～ B(1, p),(k=1,2,…, n)相互獨立 ,故 Y 的特征函數(shù)為 nitXnkYpeqttk)()(φ)(φ1????? 推論 2 若隨機變量 相互獨立同分布 , 則 的特征函數(shù)為 nXXX , 21 ????nkkXY1特征函數(shù) 若 X1,X2,…, Xn相互獨立 ,且 Xk～N(0,1),證明 也服從 N(0,1)分布 . ???nkkXnY1122)( tk et??? 證 Xk的特征函數(shù)為 ,則 RtettntXnkX knkk????????,)(φ)(φ 2121RtentttXnkk??????,)(φ)(φ 2Y21從而 由惟一性定理知 ,Y～ N(0,1).
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