隨機(jī)過(guò)程及應(yīng)用：預(yù)備知識(shí)：特征函數(shù)(更新版)
【正文】 ),(φ 21 nttt ?)(φ1 kXnktk???證明參見(jiàn) P249. 在上式中特別取 ti = t， i=1,2,… ,n , 有 特征函數(shù) ???)(φ1tkXnk][),(φ )( 1 ntXtXjeEttt ??? ??][ )( 1 nXXtjeE ??? ? )(φ1tnkkX??? 推論 1 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立 , 令 , 則 Y的特征函數(shù)為 nXXX , 21 ????nkkXY1)(φ)(φ1ttkXnkY ??? 注意： 定理 推論 1的區(qū)別？ 練習(xí)： X~U(0,1), P{Y=0}=P{Y=1}=1/2, X,Y相互獨(dú)立，試確定 X+Y的分布？ 特征函數(shù) nXXnkYtttk])(φ[)(φ)(φ1???? 隨機(jī)變量 Y～ B(n, p), 寫出其特征函數(shù) . 解 二項(xiàng)分布隨機(jī)變量 Y可表示為 ???nkkXY1且 Xk～ B(1, p),(k=1,2,…, n)相互獨(dú)立 ,故 Y 的特征函數(shù)為 nitXnkYpeqttk)()(φ)(φ1????? 推論 2 若隨機(jī)變量 相互獨(dú)立同分布 , 則 的特征函數(shù)為 nXXX , 21 ????nkkXY1特征函數(shù) 若 X1,X2,…, Xn相互獨(dú)立 ,且 Xk～N(0,1),證明 也服從 N(0,1)分布 . ???nkkXnY1122)( tk et??? 證 Xk的特征函數(shù)為 ,則 RtettntXnkX knkk????????,)(φ)(φ 2121RtentttXnkk??????,)(φ)(φ 2Y21從而 由惟一性定理知 ,Y～ N(0,1). 。特征函數(shù) 一．特征函數(shù)的定義及例子 設(shè) X, Y是實(shí)隨機(jī)變量 ,復(fù)隨機(jī)變量 Z=X + jY 的數(shù)學(xué)期望定義為 1??j),()()( YEjXEZE ??特別 預(yù)備知識(shí) 5 特征函數(shù) 特征函數(shù) ?? ???????? ?? )(s i n)(c o s xt x d Fjxt x d F? ????? )( xdFe jtx注 ,Rt ??1） costx 和 sintx 均為有界函數(shù) , 故 )( jtXeE總存在 . 2) 是實(shí)變量 t 的函數(shù) . )( jtXeE)s i n()cos()( tXjEtXEeE jtX ??X是實(shí)隨機(jī)變量 求隨機(jī)變量 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 特征函數(shù) 定義 設(shè) X是定義在 (Ω ,F , P )上的隨機(jī)變量 ,稱 RtxdFeeE jtxjt ??? ? ???? ,)()( X為 X的 特征函數(shù) . 關(guān)于 X的分布函數(shù)的富里埃 司蒂階變換 當(dāng) X是連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則 ? ???
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