隨機(jī)過(guò)程及應(yīng)用：預(yù)備知識(shí)：特征函數(shù)(文件)
【正文】 tttXnkk??????,)(φ)(φ 2Y21從而 由惟一性定理知 ,Y～ N(0,1). 。0,11π2)(2其它yyyf Y 已知隨機(jī)變量 X的特征函數(shù)為 Rttt ?? ,c o s)(φ 2試求 X的概率分布 . 特征函數(shù) 解 因 根據(jù)特征函數(shù)的惟一性定理 , 知隨機(jī)變量 X的分布律為 22 )2(c o s)(jtjt eett?????jtjt ee 22412141 ????}2{}0{}2{ 202 ??????? ? XPeXPeXPe jtjtjt X ?2 0 2 p 1/4 1/2 1/4 特征函數(shù) 四． 多維隨機(jī)變量的特征函數(shù) 定義 5. 4 二維隨機(jī)變量 (X, Y)的特征函數(shù)定義為 ]e[),(φ )(21 21 YtXtjEtt ??? ???? ??? ?? ),()( 21 yxdFe ytxtj連續(xù)型 ? ?? ????????? d x d yyxfett ytxtj ),(),(φ 2121注 多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義見(jiàn) P247. 特征函數(shù) ? ? ??r ssrytxtj pett r,)(21s21),(φ離散型 例 (X, Y)服從二維正態(tài)分布 ]2[21)( 2222212121212211 ttttttje ??????? ?????)。特征函數(shù) 一．特征函數(shù)的定義及例子 設(shè) X, Y是實(shí)隨機(jī)變量 ,復(fù)隨機(jī)變量 Z=X + jY 的數(shù)學(xué)期望定義為 1??j),()()( YEjXEZE ??特別 預(yù)備知識(shí) 5 特征函數(shù) 特征函數(shù) ?? ???????? ?? )(s i n)(c o s xt x d Fjxt x d F? ????? )( xdFe jtx注 ,Rt ??1） costx 和 sintx 均為有界函數(shù) , 故 )( jtXeE總存在 . 2) 是實(shí)變量 t 的函數(shù) . )( jtXeE)s i n()cos()( tXjEtXEeE jtX ??X是實(shí)隨機(jī)變量 求隨機(jī)變量 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 特征函數(shù) 定義 設(shè) X是定義在 (Ω ,F , P )上的隨機(jī)變量 ,稱 RtxdFeeE jtxjt ??? ? ???? ,)()( X為 X的 特征函數(shù) . 關(guān)于 X的分布函數(shù)的富里埃 司蒂階變換 當(dāng) X是連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則 ? ????? 。1)0(φ)(φ)1 ??t.)(φ)(φ)2 tt ??22 )( s i n)( c o s)(φ)1 tXjEtXEt ??證 22 )]( s i n[)]( c o s[ tXEtXE ??])( s i n[])( c o s[ 22 tXEtXE ?????? 1])( s i n)[ ( c o s 22 tXtXE許瓦茨不等式() )0(φ特征函數(shù) )()(φ)2 jtXeEt ? )( s i n)( c o s tXjEtXE ??)( s i n)( c o s tXjEtXE ??)][ s i n ()][ c o s ( tXjEt
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