隨機(jī)過程及應(yīng)用：預(yù)備知識(shí)：特征函數(shù)(專業(yè)版)
【正文】 特征函數(shù) 一．特征函數(shù)的定義及例子 設(shè) X, Y是實(shí)隨機(jī)變量 ,復(fù)隨機(jī)變量 Z=X + jY 的數(shù)學(xué)期望定義為 1??j),()()( YEjXEZE ??特別 預(yù)備知識(shí) 5 特征函數(shù) 特征函數(shù) ?? ???????? ?? )(s i n)(c o s xt x d Fjxt x d F? ????? )( xdFe jtx注 ,Rt ??1） costx 和 sintx 均為有界函數(shù) , 故 )( jtXeE總存在 . 2) 是實(shí)變量 t 的函數(shù) . )( jtXeE)s i n()cos()( tXjEtXEeE jtX ??X是實(shí)隨機(jī)變量 求隨機(jī)變量 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 特征函數(shù) 定義 設(shè) X是定義在 (Ω ,F , P )上的隨機(jī)變量 ,稱 RtxdFeeE jtxjt ??? ? ???? ,)()( X為 X的 特征函數(shù) . 關(guān)于 X的分布函數(shù)的富里埃 司蒂階變換 當(dāng) X是連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則 ? ????? 。)()(φ dxxfet jtx.)(φ ??kkjtx pet k當(dāng) X是離散型隨機(jī)變量 ,則 )(φ t特征函數(shù) ,1}{ ?? cXP 單點(diǎn)分布 R.,)()(φ ??? teeEt jtcjtc 兩點(diǎn)分布 pepet jtjt 10 )1()(φ ?? ???.,1 Rtpeqpep jtjt ?????? 二項(xiàng)分布 Rtpeqt njt ??? ,)()(φ 泊松分布 Rtet jte ?? ? ,)(φ )1(?特征函數(shù) ? ?? ?? 0)(φ dxeet xjtx ??? ??? ?? ?? ?? 0 0 s i nc o s t x d xejt x d xe xx ?? ??Rtjtttjt??????? ???????,112222 ??????)0λ(,0。,)( ????????xxexfx?? 指數(shù)分布 特征函數(shù) 均勻分布 ],[ aaU ?Rtatatt ?? ,s i n)(φ 正態(tài)分布 N(a,σ2) Rttttjae ??? ,2221)(φσ特別對(duì)正態(tài)分布 N(0,1)，有 Rttte ??? ,221)(φ特征函數(shù) dxeetaxtxj 22)( 221)( ?????????????axu ??dueeuuajt 2)(221 ??????? ??dueejautja????????? 2)(21 22221 ????證明 Rxexfax????,21)(22)( 2σσπRtttjae??? ,221 2?特征函數(shù) 二．特征函數(shù)性質(zhì) 性質(zhì) 隨機(jī)變量 X的特征函數(shù)滿足： 。1)0(φ)(φ)1 ??t.)(φ)(φ)2 tt ??22 )( s i n)( c o s)(φ)1 tXjEtXEt ??證 22 )]( s i n[)]( c o s[ tXEtXE ??])( s i n[])( c o s[
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