[理學(xué)]2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程-資料下載頁(yè)
2025-02-21 12:51本頁(yè)面
【正文】 數(shù)， X(t)是均方可導(dǎo)過(guò)程，則 f(t)X(t) 也是均方可微過(guò)程，且 ? ?( ) ( ) ( ) ( ) .aX t bY t aX t bY t? ??? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f t X t f t X t f t X t? ????定理 對(duì)平穩(wěn)過(guò)程 {X(t)},有 (1) (2),(1) (4) (3). (1) {X(t)}均方可導(dǎo)。 (2) {X(t)}在 t = 0 處均方可導(dǎo)。 (4) 二次可導(dǎo)。 ()XR ?(3) 在 處二次可導(dǎo)。 ()XR ? 0? ?例 討論維納過(guò)程 的可微性。 ? ?( ) , 0W t t ?解 由于當(dāng) 時(shí)，有 0t ???2( , ) ( , ) ( , ) ( , )()W W W WR t t t t R t t t R t t t R t tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??2 2 2 22()()t t t t tt? ? ? ?? ? ? ? ???2t??? ,??可見 不是均方可微的。 ? ?( ) , 0W t t ?7．隨機(jī)過(guò)程的均方積分 定義 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 {X(t),t∈T},[a,b ?T],f(t)是 [a,b]上的普通實(shí)值函數(shù)。對(duì) [a,b]的任一組分點(diǎn) ?:a=t0t1t2… tn=b,記： ?tj=tjtj 1,tj1 ≤ uj ≤ tj, j=1,2,… ,n,|?n|=max{?tj,1≤ j≤ n} 若存在與 ?n及 {uj}的取法無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量 Y，使得 則稱 f(t)X(t)在 [a,b]上 均方可積 ，并稱 Y為 f(t)X(t)在[a,b]上的均方積分，記作： ?? ba dttXtfY )()(2| | 0 1lim ( ) ( ) 0 ( 7 .1 )nj j jjE f u X u t Y?? ???????? ? ?????????? 關(guān)于均方積分的定義可推廣到如下的情況： （ 1） f(t)是 [a,b]上普通的復(fù)值函數(shù)， ()式改為： 0)()(lim210||??????????? ????YtuXufEnjjjj ??式中 |*|為復(fù)數(shù)的模。 （ 2） f(t)改為 h(s,t),可定義 }),({,),()()( TttYdstshsXtY ba ?? ?為一新的隨機(jī)過(guò)程。 （ 3）積分區(qū)間 [a,b]可改為 [a,+∞ ]或 [∞,+∞ ]等，可定義 ?? ????? ? baba dttXtfmildttXtf )()(..)()(定理 設(shè) {X(t)}為一均方連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程 ,f(t),g(t)是 [a,b]上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則 ?? ??????? ba xba dtttfdttXtfE )()()()()1( ?? ??? ??????? ba ba xbaba d s dttsRtgsfdttXtgdssXsfE ),()()()()()()()2(證明： （ 1）由定義 ? ? ???????????????????????baxnjjjjnjjjjbadtttftuXEuftuXufmilEdttXtfE)()()()(lim)()(..)()(10||10||?????上式表明，隨機(jī)過(guò)程積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望運(yùn)算的次序可換。（ 2）類似可證。 注意：這個(gè)定理可推廣到更一般的積分情況，例如， 當(dāng) f(t),g(t)是復(fù)值函數(shù)時(shí)，定理的（ 2）改為 ? ??? ??????? ???????????? ba ba xbaba ds dttsRtgsfdttXtgdssXsfE ),()()()()()()(式中 )(tg 為 g(t)的共軛。
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