【導讀】的主要因素不隨時間而變。電子的熱運動引起的，這種熱擾動不隨時間而變；()Xt連續(xù)測量飛機飛行速度產(chǎn)生的測量誤差，棉紗各處直徑不同是由于紡紗機運行，棉條不均，隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間推移而變——平穩(wěn)過程。是一隨機過程，對任意的，僅與時間差有關(guān)，嚴平穩(wěn)過程二階矩存在寬平穩(wěn)過程；寬平穩(wěn)過程正態(tài)過程嚴平穩(wěn)過程；證設的分布函數(shù)為，對任意不同任意，變量，稱為隨機相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。周期性＝＝＝常數(shù)。周期性記為＝＝＝＝＝

　　

【正文】 和 輸 出 用 微 分 方 程 表 示 ：0()( ) [ ] ( )( ) [ ]iti t i tittL x t ey t L e H eH L e?????? ?????定 理 ： 設 是 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ， 若 輸 入 信 號 ，則 輸 出 為其 中 稱 為 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應 函 數(shù) 。()( ) [ ] [ ]i t i i ty t L e e L e? ? ?? ?? ?? ? ?有( ) [ ]ity t L e t? ??證 明 ： 令 ， 對 固 定 的 和 任 意 的 ，00 ( ) [ ] ( )i i t itt y e L e H e? ? ? ? ??? ?? ? ? ?令 ， 。0( ) [ ] .ittdL H L e idt????? ? ?例 如 ， 設 ， 則（二） 頻率響應與脈沖響應 ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) .t x t x t dy t x L t d x h t d? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ????事 實 上 ， 根 據(jù) 的 性 質(zhì) ，因 此 ，( ( ) ) ( )?()( ) ( ) ( ) ( ) ( )utL L t h txty t x h t d x t u h u du??? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???對 于 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ， 稱 為 脈 沖 響 應 函 數(shù) 。一 般 地 ， 對 于 系 統(tǒng) 的 任 一 輸 入 ， 輸 出 可 表 示 為 ：( ) , ( ) , ( )( ) ( ) .Lx t y t h th t H ?對 于 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ，設 輸 入 輸 出 脈 沖 響 應 函 數(shù) 均 滿 足 傅 立 葉變 換 條 件 ， 則 的 傅 立 葉 變 換 就 是( ) , ( ) , ( )( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )x t y t h tX Y HY X H y t x h t d? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ??證 明 ： 設 相 應 的 傅 立 葉 變 換為 ， ，則1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]2ity t L x t L X e d????????? ?另 一 方 面 ，11 ( ) ( ) ( ) ( )22i t i tX L e d X H e d??? ? ? ? ?????? ? ? ?????( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y X H H H? ? ? ? ?? ? ?即（三） 線性系統(tǒng)輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L X t x ty t h t x d h x t d? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???設 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ， 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 對 于 樣 本 函 數(shù) ，( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t h t X d h X t d? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???因 此 ， 輸 出是 隨 機 過 程 。( ) ( ( ) , ( ) )( ) ? ( , ) ? ( , ) ?Y Y X YY t X t Y tt R t t R t t? ? ?? ? ? ? ?平 穩(wěn) 嗎 ？ 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 嗎 ？()( ) ( )( ) ( ) , ( ) )( ) ,( , ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ,?( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( )XXYXXY X XYY XYXXtR Y tY t X t Y th u duR t t E X t Y t h u R u du RR t t h v R v dvh u h v R u v du dv????? ? ? ????????????????? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????定 理 ： 設 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 其 均 值 函 數(shù) 為 ，自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 ， 輸 出 過 程 為 ， 則為 平 穩(wěn) 過 程 ， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。( ) .?YR ???[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]Y E Y t E h u X t u d u? ???? ? ??證 明 ：( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]XYR t t E X t Y t E X t h u X t u d u? ? ????? ? ? ? ? ??( , ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )YR t t E Y t Y t E h v X t v Y t d v? ? ????? ? ? ? ? ??( ) [ ( ) ] ( )Xh u E X t u d u h u d u???? ? ? ?? ? ???( ) [ ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ( )?X X Yh u E X t X t u d u h u R u d u R? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?X Y X Yh v R v d v h u h v R u v d u d v R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( ) ( ) , ( ) )Y t X t Y t看 出 ， 為 平 穩(wěn) 過 程 ， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。0( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .XX XYXtR S Y t h X t d R?? ? ? ? ? ? ?????? ? ??例 ： 設 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 輸 入 白 噪 聲 過 程 ， 即 ， 令 ， 求00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )X Y XR h u R u duh u S u du S h??? ? ?????????? ? ???解 ： 由 定 理 得 ，0( ) ( )XYh R S???所 以 ，即可以從實測的互相關(guān)函數(shù)資料估計線性系統(tǒng)未知的脈沖響應 。 （四） 線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度 22()( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )()XYXXY XXtY t h X t d X t Y tX t S HY t S H SX t Y t S H SH? ? ???? ? ?? ? ??????????定 理 ： 設 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 輸 出 過 程， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。若 具 有 譜 密 度 為 ， 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應 函 數(shù) 為 。則 的 譜 密 度 為 ，與 的 互 譜 密 度 為其 中 ， 稱 為 系 統(tǒng) 的 頻 率 增 益 因 子 或 頻 率 傳 輸 函 數(shù) 。( ) ( ) iYYS R e d??? ? ?? ???? ?證 明 ：[ ( ) ( ) ( ) ] iXh u h v R u v d u d v e d????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?([ ( ) ( ) ( ) ]s u v i s u vXh u h v R s d u d v e d s? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?令 ）( ) ( ) ( )i u i v i sXh u e d u h v e d v R s e d s? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?2*( ) ( ) ( ) ( ) ( )XXH H S H S? ? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( )iiX Y X Y XS R e d h u R u e d u d? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?( ) ( ) ( ) ( )vu i w u i vXXh u e d u R v e d v H S? ? ???? ?? ??? ? ? ?????令0( ) ( )( ) ( ) ( )()( ) ( )1 ( ) ( ) ( )2 ( ) ( ) ( )Xx t y ty t y t x tXtRSY t X t Y tY t X t Y t???? ? ?? ???例 ： 設 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 的 輸 入 與 輸 出 滿 足 微 分 方 程其 中 為 已 知 正 常 數(shù) 。今 輸 入 過 程 是 白 噪 聲 電 壓 ， 其 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為。求（ ） 輸 出 電 壓 過 程 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) ， 以 及 ， 的 互 相 關(guān) 函 數(shù) ；（ ） 輸 出 電 壓 過 程 的 譜 密 度 ， 以 及 ， 的 互 譜 密 度 。( ) ( )H h t?解 ： 先 求 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應 函 數(shù) 和 脈 沖 響 應 函 數(shù)( ) ( ) ( )i t i tx t e y t H e?? ???取 ， 則 有 ， 代 入 微 分 方 程 得 ，[ ( ) ] ()it i t i td H e H e edt???? ? ? ???()H i ?? ???? ?1 1 1( ) ( )2 2 2 ( )i t i t i th t H e d e d e di i i? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?于是 ()ii??? ?因 為 在 上 半 平 面 有 一 階 極 點10 ( ) R e ( )2tt h t s i e ?????? ? ?所 以 ， 當 時 ，, 0 ,()0 , 0 .tethtt?? ?? ??? ???0( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YXR h u h v R u v du dvh u h v S u v du dv??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?????00( ) ( ) ( ) ( ) ( )S h u d u h v u v d v S h u h u d u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 ( )02 ( )000002uuuuS e e duS e e duSe? ? ??? ? ?????????? ? ??? ? ??? ??? ?? ?????0( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Y XR h u R u d u h u S u d u? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???00,0()0 , 0SeSh???????? ??? ???, 0 ,()0 , 0 .tethtt?? ?? ?? ???0( 2) ( )XSS? ?因 為 ， 由 公 式 得 ，2200 22( ) ( ) ( )YXSS H S Sii???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?()H i ?? ??? ?0( ) ( ) ( )X Y XSS H Si?? ? ????? ?