【正文】 t lim a c o s t d tT ?? ? ? ?? ? ? ? ??解：0?? ? ? ?2Ta s in T s in TlimT????? ? ?? ? ? ? ? ?????將 看 作 一 定 值＝ ＝ ＝ ＝29 ? ?? ? ? ? ? ? XXXtR X t X t???? ? ?? ? ? ?可 知 ：? ? ? ?? ? ? ?2 12TT TX t X tl i m a c os t c os t dtT?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????22a c o s???? ?2 224 TT Talim c o s t c o s d tT ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ? ?222 2 2 2422Tsin T sin TalimTa c o s? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???1 . { ( ) } 1XP X t ?? ? ? ?如 果 ， 均 值 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性? ?Xt設(shè)是定義： 一平穩(wěn)過程? ?2 . { ( ) ( ) } 10XP X t X t R? ? ??? ? ? ? ? ??自 相， 關(guān) 函 數(shù) 具 ， 當(dāng) 時有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性均 方 值 具 有 各， 稱 態(tài) 歷 經(jīng) 性)3 . (Xt均 值 和 自 相 關(guān) 函 數(shù) 都 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng)是性 ， 則 稱 各 態(tài) 歷 經(jīng) 過 程? ? ? ? ? ?? ?12 , , , 12X t X t P XXt? ? ? ? ? ? ? ? ?例 ： 試 確 定 的 均 值 是 否 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。 } .ttt T XX t T?????例 設(shè) 是 一 隨 機 變 量 對 任 何 則 隨 機 過 程 是 嚴 平 穩(wěn) 的1: , , ,nt t h?證 對 任 意 不 同 任 意 ，11( , .. ., ) ( , .. ., )n h nt t t t hX X X X?? ? ??（ ， . . . , ) =11 ? ?( ) ( ) , ~ U ( 0 , 2 )X t a c o s tt??? ? ?? ? ? ? ? ? ?例 ： 隨 機 相 位 正 弦 波。 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 21 2 1 2, 1 , 2 , , , , , , , , , , , , nnnnX t t T n nt t t T h t h t h t h TX t X t X t X t h X t h X t h??? ? ? ? ?? ? ?是 一 隨 機 過 程 ， 對 任 意 的 ， 和 任 意 實 數(shù) ， 當(dāng) 時和 具 有 相 同 的 分 布 函 數(shù) ， 稱 此 嚴定 義平程 為：過 穩(wěn) 過 程 。? ? ? ?? ?? ? ? ?001:.XXP X t T X tR T R??? ? ?? ? ?即? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0001XXP X t T X tE X t X t T E X t X tR T R???????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???證 明 ： 因 為 ， 所 以 ， 即 。 3 平穩(wěn)過程的功率譜密度 (一 ) 平穩(wěn)過程的功率譜密度 ? ?? ?? ?2221. ,1x t tx t tW I R U R Rx t t? ? ? ? ??? ? ? ?確 定 性 信 號 的 功 率 譜 密 度 對 確 定 性 信 號 它 是 時 間 函 數(shù) ，例 如 ， 可 表 示 時 刻 的 電 流 強 度 或 電 壓 ，根 據(jù) 電 功 率 公 式 當(dāng) 電 阻 時 ，表 示 信 號 在 時 刻 的 功 率 。 即 在 時 ，與 不 相 關(guān) 。( ) .?YR ???[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]Y E Y t E h u X t u d u? ???? ? ??證 明 ：( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]XYR t t E X t Y t E X t h u X t u d u? ? ????? ? ? ? ? ??( , ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )YR t t E Y t Y t E h v X t v Y t d v? ? ????? ? ? ? ? ??( ) [ ( ) ] ( )Xh u E X t u d u h u d u???? ? ? ?? ? ???( ) [ ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ( )?X X Yh u E X t X t u d u h u R u d u R? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?X Y X Yh v R v d v h u h v R u v d u d v R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( ) ( ) , ( ) )Y t X t Y t看 出 ， 為 平 穩(wěn) 過 程 ， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。 （四） 線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度 22()( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )()XYXXY XXtY t h X t d X t Y tX t S HY t S H SX t Y t S H SH? ? ???? ? ?? ? ??????????定 理 ： 設(shè) 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 輸 出 過 程， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。100 c o sS d? ? ? ??? ?61 ? ?? ?1,0,XXTR TT?????????? ?? ??例 6 ： 求 自 相 關(guān) 函 數(shù) 所 對 應(yīng) 的 譜 密 度 S 。? ? ? ?? ? ? ?* .xxxxtFFF?????頻一 般 是 復(fù) 函 數(shù) ， 稱 之 為 信 號 的其 共 軛譜 ，函 數(shù)44 ? ? ? ?? ? ? ? 22 12xxx t F Parse v alx t dt F d????? ? ? ?? ? ? ????在 信 號 與 之 間 成 立 有 等 式 ： 表 明 信 號 的 總 能 量 等 于 各 諧 分 量 能 量 的 疊 加45 ? ?? ?22,12TT Tx t dtli m x t dtT?????? ? ? ???????但 在 工 程 技 術(shù) 中 ， 通 常 總 能 量（ 例 如 周 期 性 信 號 就 是 如 此 ） 。23 應(yīng)用： ? ? ? ?? ? ? ? X t X tlim R lim C??????? ? ? ????在 實 際 中 ， 各 種 具 有 零 均 值 的 非 周 期 性 噪 聲 和 干 擾 一 般當(dāng) 值 適 當(dāng) 增 大 時 ， 和 呈 現(xiàn) 獨 立 或 不 相 關(guān) ，即? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 , 0NV t S t N tV t S t N tS t N tE N t l i m R????????????如 ： 接 收 機 輸 出 電 壓 是 周 期 信 號 和 噪 聲 電 壓 之 和 ，又 設(shè) 和 是 兩 個 互 不 相 關(guān) 的 各 態(tài) 歷 經(jīng) 過 程 ， 且? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?V S NVSSV t R R RRRVtR? ? ?? ? ??????則 的 自 相 關(guān) 函 數(shù)則 對 于 充 分 大 的 值 ，即 如 果 將 作 為 自 相 關(guān) 分 析 儀 的 輸 入 ， 則 對 于 充 分 大 的 值 ，分 析 儀 記 錄 到 的 是 函 數(shù) 的 曲 線 。 對 任 意 n 2, 的 分 布 僅 與 時 間 差 有 關(guān) ， 而 與 起 始 時 間當(dāng) 且 僅 當(dāng)（ ）（ ）無 關(guān) 。 } .ttX t TX t T??例 一 族 隨 機 變 量 獨 立 同 分 布則 隨 機 過 程 是 嚴 平 穩(wěn) 的1: , , ,tnX F t t h?證 設(shè) 的 分 布 函 數(shù) 為 ， 對 任 意 不 同 任 意 ，1 1( , .. ., )nt t nP X x X x? ? ?1 1( ) .. . ( )nt t nP X x P X x??1( )... ( )nF x F x? 1 1( , ..., )nt h t h nP X x X x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1212 , , , , ,nnX t X t X tX t h X t h X t h?? ? ?和同 分 布 ，{ 。 2 各態(tài)歷經(jīng)性 如何根據(jù) 實驗記錄 確定平穩(wěn)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？按照數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)的定義，需對一個平穩(wěn)過程重復(fù)進行大量觀察，獲得一族樣本函數(shù) 用統(tǒng)計實驗方法，均值和自相關(guān)函數(shù)近似地為： ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 21111 , NNX k X k kkkx t R t t x t x tNN???? ? ???? ? ? ? ? ?12 , , , ,Nx t x t x t 平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化， 根據(jù)這一特點，能否通過在一個很長時間內(nèi)觀察得到的 一個樣本曲線來估計平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢？ 本節(jié)給出的各態(tài)歷經(jīng)定理證實，只要滿足某些條件， 那么均值和自相關(guān)函數(shù)實際上可以用一個樣本函數(shù)在整個 時間軸上的平均值來代替。例 ： 已 知 平 穩(wěn) 過 程 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 ： 求 的 譜 密 度? ? a iXS e e d? ?????? ? ???? ?解 ：( s in )ae c o s i d? ? ? ? ? ??? ??????? ? 222X aS a? ?? ?所 以02ae c o s d? ? ? ??? ?? ?()002 Re 2 Re ()12 Re()aiai ee e daiai??? ? ? ???????? ? ? ????????222 aa ?? ?53 ? ? ? ?0 ,aXXR e c o s S?? ? ? ??? 。2XYiiX Y X Y X Y X YRdS R e d R S e d? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? ? ? ??? ? ? ?? ? ??????當(dāng) 時 ， 成 立 維 納 辛 欽 公 式63 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?c