【正文】 j i j i ji j i jnni j i j i ii j iR t t a a E X t X t a aE X t X t a a E X t a?????????????? ????? ? ????? ?????? ???????? 21 ? ? 005() . XX t TR t T?是 周 期 為 的 平 穩(wěn) 過 程 是 周 期 為 的 函 數(shù) 。 ? ? 1 00 T Tf ?? ????? ??解：由假設(shè)， 的概率密度為: 其他? ? ? ? ? ?,XR t t E S t S t??? ? ? ? ? ? ?????? ?0 1T S t dT?????? ?1 tTt SdT ???? ? ? ? ? ?01 T SdT ???周期性＝＝＝ 常數(shù)所以隨機(jī)相位周期過程是平穩(wěn)的。 } .ttt T XX t T?????例 設(shè) 是 一 隨 機(jī) 變 量 對 任 何 則 隨 機(jī) 過 程 是 嚴(yán) 平 穩(wěn) 的1: , , ,nt t h?證 對 任 意 不 同 任 意 ，11( , .. ., ) ( , .. ., )n h nt t t t hX X X X?? ? ??（ ， . . . , ) =11 ? ?( ) ( ) , ~ U ( 0 , 2 )X t a c o s tt??? ? ?? ? ? ? ? ? ?例 ： 隨 機(jī) 相 位 正 弦 波。? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ,0 2XXXtt E X t E XR t t E X t X t E X X R??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?記 為記 為（ 1 ）（ 設(shè) 嚴(yán) 平 穩(wěn) 過 程 是 二 階 矩 過 程 ， 則 ＝ 常 數(shù)＝ ＝）＝嚴(yán) 平 穩(wěn) 過 程 的 數(shù) 字 特 征 ：? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?, , , ,XXX t t T t t TE X tE X t X t RX t t T????? ? ?????????????給 定 二 階 矩 過 程 ， 如 果 對 任 意 的常 數(shù) 定 義 則 稱 為：寬 平 穩(wěn) 過 程???? （ 1 ） 嚴(yán) 平 穩(wěn) 過 程 二 階 矩 存 在 寬 平 穩(wěn) 過 程 ； 寬 平 穩(wěn) 過 程 正 態(tài) 過 程 嚴(yán) 平 穩(wěn) 過 程 ； （ 2 ） 今 后 ， 平 穩(wěn) 過 程 均 指 寬注 ：平 穩(wěn) 過 程 。因?yàn)楫a(chǎn)生隨機(jī)現(xiàn)象的主要因素不隨時間而變，所以 隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨時間推移而變 —— 平穩(wěn)過程。 關(guān)鍵詞： (寬 )平穩(wěn)過程 時間均值 時間相關(guān)函數(shù) 各態(tài)歷經(jīng)性 各態(tài)歷經(jīng)過程 譜密度 維納 —— 辛欽公式 白噪聲 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過程 167。 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 21 2 1 2, 1 , 2 , , , , , , , , , , , , nnnnX t t T n nt t t T h t h t h t h TX t X t X t X t h X t h X t h??? ? ? ? ?? ? ?是 一 隨 機(jī) 過 程 ， 對 任 意 的 ， 和 任 意 實(shí) 數(shù) ， 當(dāng) 時和 具 有 相 同 的 分 布 函 數(shù) ， 稱 此 嚴(yán)定 義平程 為：過 穩(wěn) 過 程 。? ?? ?Xt如 果 是 寬 平 穩(wěn) 過 程 ， 那 么 () XE X t ??1. 常 數(shù) 2 ( ) 0XEX t R?2. （ ） 常 數(shù) 2[ ( ) ] 0 XXD X t R ??3. （ ） 常 數(shù) 12 21t t XE X X R t t?4. （ ） 12221, ) t t X XCo v X X R t t ??5. （ （ ） ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?, ,XYX Y X YX t Y t t TRR t t E X t X t RX t Y t?? ? ??? ? ? ?????和 是 兩 個 平 穩(wěn) 過 程 如 果 它 們 的 互 相 關(guān) 函 數(shù) 也 只 是時 間 差 的 函 數(shù) ， 記 為 即 稱 和 是 ， 或 稱 這 兩 個 過 程平是定 義穩(wěn) 相 關(guān) 的聯(lián)：合 寬 平 穩(wěn) 的9 : ( ) ,{ 。 ( ) 0X t? ? （ 常 數(shù) ）2( , ) c o s (2X aR t t ? ? ? ??? 只 是 的 函 數(shù) ）{ ) }Xt? （ 是 寬 平 穩(wěn) 過 程? ?? ? ? ?22 1 ( ), 0 , 1 , 2 ,0 , ,kkkXkE X E X ?? ? ???例 ： 離 散 白 噪 聲設(shè) 兩 兩 不 相 關(guān) ，則 有 ： ? ? ? ?2 ,0 X k lklR k l E X Xklkl?? ??? ???? 只 與 有 關(guān) ， 所 以 是 寬 平 穩(wěn) 。? ? ? ?, E X t E S t? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于 是? ? ? ?1 tTt S S dT ? ? ? ?????? ? ? ?0 1T S t S t dT? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?01 T XS S d RT ? ? ? ? ???周期性 記為＝＝＝ ＝＝? ?? ?? ?14 ,2 ( , ] ~P X t IttXt? ? ? ?? ? ??例 ： 考 慮 隨 機(jī) 電 報 信 號 ，而 正 負(fù) 號 在 區(qū) 間 內(nèi) 變 化 的 次 數(shù) （ ） 討 論 的 平 穩(wěn) 性 . ? ? 0E X t ?????解 ：? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 2I P X t X t I I P X t X t I??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 , ,XR t t E X t X t? ? ?? ? ? ?????設(shè)? ?? ?? ?? ?2 2 12002 ! 2 1 !kkkkeeI ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????? ????? ? ?2 2 20 !kkI e I ek? ? ? ???????????? ? 22,XR t t I e ?? ?? ???綜 合 得 ， ，故 是 平僅 與 有 關(guān)穩(wěn) 過 程 。? ? ? ?? ?? ? ? ?001:.XXP X t T X tR T R??? ? ?? ? ?即? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0001XXP X t T X tE X t X t T E X t X tR T R???????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???證 明 ： 因 為 ， 所 以 ， 即 。 167。 ? ? ? ?1212TT TTT TX t li m X t d tTli m X d t XT? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? 0X t EX? ??解 ：? ?Xt? 的 均 值 不 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性? ?? ? ? ?00XP X t P X?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2,1XR t t E X?? ? ?11???1xt??2xt32 ( ) ( ) ,2 , 0 1, , A ~ ( ) ,0,( 0 , 2 )X t A c os t txxA f x???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ???例 3 ： 證 明 : 正 弦 波其 中 是 常 數(shù) 與 相 互 獨(dú) 立其 它在 上 均 勻 分 布 , 是 平 穩(wěn) 過 程 。40 ? ?11( ) ( )22TTTTX t l i m X t dt l i m Ac os t Bsin t dtTT????? ? ? ? ? ?? ?? ? ???方 法 一 ： 直 接 用 定 義 判 斷 ：? ? 201 TXXTl i m R dT ? ? ?? ?? ?? ????方 法 二 ， 用 定 理 一 判 斷 ：201 c o sTTlim dT ? ? ? ?? ? ?? ?2 sin 0TTlimT???? ? ???1 2 s in ( c o s c o s ( ) )[ ] 0 ,2 XTA T B T TlimT? ? ? ???? ? ???? ? ? ?()Xt即 的 均 值 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。 3 平穩(wěn)過程的功率譜密度 (一 ) 平穩(wěn)過程的功率譜密度 ? ?? ?? ?2221. ,1x t tx t tW I R U R Rx t t? ? ? ? ??? ? ? ?確 定 性 信 號 的 功 率 譜 密 度 對 確 定 性 信 號 它 是 時 間 函 數(shù) ，例 如 ， 可 表 示 時 刻 的 電 流 強(qiáng) 度 或 電 壓 ，根 據(jù) 電 功 率 公 式 當(dāng) 電 阻 時 ，表 示 信 號 在 時 刻 的 功 率 。47 ? ?? ? ? ?222. ,1 1 1 ,2 2 2TXTX t tX t dt F T dTT?????? ? ?? ? ? ? ?????平 穩(wěn) 過 程 的 功 率 譜 密 度 設(shè) 平 穩(wěn) 過 程 ? ? ? ? 22,1 1 1 ,2 2 2TXTT TTl i m E X t dt l i m E F T dTT ?????? ? ? ? ?? ? ????? ????? ??兩 邊 取 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 再 讓 得 ：48 ? ?? ? ? ?? ?20,1 ,2XXXTRS l i m E F TT???? ? ??即 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率 等 于 該 過 程 的 均 方 值 或等 式 右 邊 中 的 被 積 式 記 為 ：在 頻 率 域 中 稱 之 為 平 穩(wěn) 過 程 在 處 的 功 率 譜 密 度? ?? ? ? ? ? ?2211 022TT XTTXtl i m E X t dt l i m E X t dt RTT? ? ? ? ? ????? ?????????? ??等 式 左 邊 稱 為 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率? ?? ? ? ?? ?2 1 02XX X