【正文】 ( ) ( )H h t?解 ： 先 求 系 統(tǒng) 的 頻 率 響 應(yīng) 函 數(shù) 和 脈 沖 響 應(yīng) 函 數(shù)( ) ( ) ( )i t i tx t e y t H e?? ???取 ， 則 有 ， 代 入 微 分 方 程 得 ，[ ( ) ] ()it i t i td H e H e edt???? ? ? ???()H i ?? ???? ?1 1 1( ) ( )2 2 2 ( )i t i t i th t H e d e d e di i i? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?于是 ()ii??? ?因 為 在 上 半 平 面 有 一 階 極 點10 ( ) R e ( )2tt h t s i e ?????? ? ?所 以 ， 當(dāng) 時 ，, 0 ,()0 , 0 .tethtt?? ?? ??? ???0( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YXR h u h v R u v du dvh u h v S u v du dv??????? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?????00( ) ( ) ( ) ( ) ( )S h u d u h v u v d v S h u h u d u? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 ( )02 ( )000002uuuuS e e duS e e duSe? ? ??? ? ?????????? ? ??? ? ??? ??? ?? ?????0( ) ( ) ( ) ( ) ( )X Y XR h u R u d u h u S u d u? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???00,0()0 , 0SeSh???????? ??? ???, 0 ,()0 , 0 .tethtt?? ?? ?? ???0( 2) ( )XSS? ?因 為 ， 由 公 式 得 ，2200 22( ) ( ) ( )YXSS H S Sii???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?()H i ?? ??? ?0( ) ( ) ( )X Y XSS H Si?? ? ????? ?。今 輸 入 過 程 是 白 噪 聲 電 壓 ， 其 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為。則 的 譜 密 度 為 ，與 的 互 譜 密 度 為其 中 ， 稱 為 系 統(tǒng) 的 頻 率 增 益 因 子 或 頻 率 傳 輸 函 數(shù) 。 （四） 線性系統(tǒng)輸出過程的功率譜密度 22()( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )()XYXXY XXtY t h X t d X t Y tX t S HY t S H SX t Y t S H SH? ? ???? ? ?? ? ??????????定 理 ： 設(shè) 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 輸 出 過 程， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。( ) .?YR ???[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]Y E Y t E h u X t u d u? ???? ? ??證 明 ：( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]XYR t t E X t Y t E X t h u X t u d u? ? ????? ? ? ? ? ??( , ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )YR t t E Y t Y t E h v X t v Y t d v? ? ????? ? ? ? ? ??( ) [ ( ) ] ( )Xh u E X t u d u h u d u???? ? ? ?? ? ???( ) [ ( ) ( ) ] ] ( ) ( ) ( )?X X Yh u E X t X t u d u h u R u d u R? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?X Y X Yh v R v d v h u h v R u v d u d v R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( ) ( ) , ( ) )Y t X t Y t看 出 ， 為 平 穩(wěn) 過 程 ， 且 ( 是 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 。一 般 地 ， 對 于 系 統(tǒng) 的 任 一 輸 入 ， 輸 出 可 表 示 為 ：( ) , ( ) , ( )( ) ( ) .Lx t y t h th t H ?對 于 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ，設(shè) 輸 入 輸 出 脈 沖 響 應(yīng) 函 數(shù) 均 滿 足 傅 立 葉變 換 條 件 ， 則 的 傅 立 葉 變 換 就 是( ) , ( ) , ( )( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )x t y t h tX Y HY X H y t x h t d? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ??證 明 ： 設(shè) 相 應(yīng) 的 傅 立 葉 變 換為 ， ，則1( ) [ ( ) ] [ ( ) ]2ity t L x t L X e d????????? ?另 一 方 面 ，11 ( ) ( ) ( ) ( )22i t i tX L e d X H e d??? ? ? ? ?????? ? ? ?????( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y X H H H? ? ? ? ?? ? ?即（三） 線性系統(tǒng)輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L X t x ty t h t x d h x t d? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???設(shè) 線 性 時 不 變 系 統(tǒng) ， 輸 入 平 穩(wěn) 過 程 ， 對 于 樣 本 函 數(shù) ，( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t h t X d h X t d? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???因 此 ， 輸 出是 隨 機 過 程 。()( ) [ ] [ ]i t i i ty t L e e L e? ? ?? ?? ?? ? ?有( ) [ ]ity t L e t? ??證 明 ： 令 ， 對 固 定 的 和 任 意 的 ，00 ( ) [ ] ( )i i t itt y e L e H e? ? ? ? ??? ?? ? ? ?令 ， 。()tL d u??? ?例 ： 積 分 算 子 也 是 線 性 時 不 變 的 。()xt ()ytL( ) [ ( ) ] ,( ) [ ( ) ]L y t L x ty t L x tL????? ? ?定 義 2 ： 對 于 系 統(tǒng) ， 設(shè)若 對 于 任 意 時 間 平 移時 不 變 系 統(tǒng) 定，稱 為 或 常 系 統(tǒng) 。? ? ? ?? ? ? ? 3. e XY e Y Xm XY m Y XR S R SI S I S? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?和 是 的偶函數(shù)和 是 的奇函數(shù)? ? ? ? ? ?24 . X Y X YS S S? ? ??互譜密度與自譜密度之間成立有不等式：167。它有以下特性：? ? ? ? ? ? ? ?*1 . ,X Y Y X X Y Y XS S S S? ? ? ?? 即 和 互為共軛函數(shù)? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 . 1,。100 c o sS d? ? ? ??? ?61 ? ?? ?1,0,XXTR TT?????????? ?? ??例 6 ： 求 自 相 關(guān) 函 數(shù) 所 對 應(yīng) 的 譜 密 度 S 。 即 在 時 ，與 不 相 關(guān) 。? ? ? ? ? ?? ? ? ?001 2 1 21 22iiXXSR S e d e d St t X t X t? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? 即 這 個白 噪 聲 的 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為 ：過 程 在 時 ， 和 是 不 相 關(guān) 的60 ? ?011,0XSS????????? ????譜 密 度 僅 在 某 些 有 限 頻 率 范 圍 內(nèi) 取 異 于 零 的 產(chǎn) 生 常 數(shù) 。 0000( ) ( )21 []2iiiiiee ede d e d? ? ? ???? ? ? ? ? ??????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????? ? ? ?? ? ? ?000022.? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????表 中 第 六 欄? ? ? ? 0c o siiXX R e d e d? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????解 ： S58 ? ?? ?220c os2aVVaR b e ?? ? ?????例 5 ： 求 自 相 關(guān) 函 數(shù) 所 對 應(yīng) 的 譜 密 度 S 。? ?? ?? ?0 , 01tttt dt????????? ? ?????? ?：即單位函數(shù) 沖激函數(shù) ，定義如下：? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 0 01 1 12 1 12 iiXXXXe d e dffRRSdSf?? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????? ? ?? ? ??????????一 般 ， 若 函 數(shù) 在 連 續(xù) ， 就 有 ：據(jù) 此 ， 可 以 寫 出 以 下 傅 里 葉 變 換 對 ：當(dāng) 時 ， ； 即 ： 當(dāng) 時 ， 。 ? ? 242 412 1 0 9 iXR e d?????? ?????? ?? ???解 ：229 5 6122 4 8 4 819iie d e d? ? ? ???? ??? ? ? ?? ? ? ?????????????? ?31 9548 ee??????表 中 第 一 欄? ?2 70 24XX R? ??均方值為55 ? ? 002 2 22 2 02 2 22 2 00 , ,XnnaanSSmm bbmS m n??????? ? ????? ? ????形 如 的 譜 密 度 ， 式 中稱一為 有 理 譜 密 度 且 分 母地 ，,般無 實 數(shù) 根( ) 0Xt若 的 均 值 函 數(shù) 為 ， 判 斷 此 過 程 的 均 值 是 否 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。例 2 ：