【正文】 關鍵詞： (寬 )平穩(wěn)過程 時間均值 時間相關函數(shù) 各態(tài)歷經(jīng)性 各態(tài)歷經(jīng)過程 譜密度 維納 —— 辛欽公式 白噪聲 第十二章 平穩(wěn)隨機過程 167。 1 平穩(wěn)過程的定義 在自然界中有一類隨機過程，它的特征是產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的主要因素不隨時間而變。例如 ()Xt無 線 電 設 備 中 熱 噪 聲 電 壓 是 由 于 電 路 中電 子 的 熱 運 動 引 起 的 ， 這 種 熱 擾 動 不 隨 時 間 而 變 ；()Xt連 續(xù) 測 量 飛 機 飛 行 速 度 產(chǎn) 生 的 測 量 誤 差 ，是 由 很 多 因 素 （ 如 儀 器 振 動 、 電 磁 波 干 擾 、氣 候 等 ） 引 起 的 ， 但 主 要 因 素 不 隨 時 間 而 變 ；棉 紗 各 處 直 徑 不 同 是 由 于 紡 紗 機 運 行 ， 棉 條 不 均 ，溫 濕 度 等 引 起 的 ， 這 些 主 要 因 素 也 不 隨 時 間 而 變 。因為產(chǎn)生隨機現(xiàn)象的主要因素不隨時間而變，所以 隨機過程的統(tǒng)計特性不隨時間推移而變 —— 平穩(wěn)過程。 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 21 2 1 2, 1 , 2 , , , , , , , , , , , , nnnnX t t T n nt t t T h t h t h t h TX t X t X t X t h X t h X t h??? ? ? ? ?? ? ?是 一 隨 機 過 程 ， 對 任 意 的 ， 和 任 意 實 數(shù) ， 當 時和 具 有 相 同 的 分 布 函 數(shù) ， 稱 此 嚴定 義平程 為：過 穩(wěn) 過 程 。? ? ? ?? ? ? ?,00 , 1 , 2 , , 0 , 1 , 2 ,T? ? ? ? ? ???嚴 平 穩(wěn) 過 程 的 參 數(shù) 集 可 以 為 連 續(xù) 的 , 如 ， ， ， ； 可 以 為 離 散 的 , 如1 2 ,2 1 , 3 2 , 11{}( , ..., )...,12nttt t tnnXXX X Xt t t t t tt??? ? ?是 嚴 平 穩(wěn) 過 程 所 有 的 同 分 布 。 對 任 意 n 2, 的 分 布 僅 與 時 間 差 有 關 ， 而 與 起 始 時 間當 且 僅 當（ ）（ ）無 關 。? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ,0 2XXXtt E X t E XR t t E X t X t E X X R??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?記 為記 為（ 1 ）（ 設 嚴 平 穩(wěn) 過 程 是 二 階 矩 過 程 ， 則 ＝ 常 數(shù)＝ ＝）＝嚴 平 穩(wěn) 過 程 的 數(shù) 字 特 征 ：? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?, , , ,XXX t t T t t TE X tE X t X t RX t t T????? ? ?????????????給 定 二 階 矩 過 程 ， 如 果 對 任 意 的常 數(shù) 定 義 則 稱 為：寬 平 穩(wěn) 過 程???? （ 1 ） 嚴 平 穩(wěn) 過 程 二 階 矩 存 在 寬 平 穩(wěn) 過 程 ； 寬 平 穩(wěn) 過 程 正 態(tài) 過 程 嚴 平 穩(wěn) 過 程 ； （ 2 ） 今 后 ， 平 穩(wěn) 過 程 均 指 寬注 ：平 穩(wěn) 過 程 。? ?? ?Xt如 果 是 寬 平 穩(wěn) 過 程 ， 那 么 () XE X t ??1. 常 數(shù) 2 ( ) 0XEX t R?2. （ ） 常 數(shù) 2[ ( ) ] 0 XXD X t R ??3. （ ） 常 數(shù) 12 21t t XE X X R t t?4. （ ） 12221, ) t t X XCo v X X R t t ??5. （ （ ） ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?, ,XYX Y X YX t Y t t TRR t t E X t X t RX t Y t?? ? ??? ? ? ?????和 是 兩 個 平 穩(wěn) 過 程 如 果 它 們 的 互 相 關 函 數(shù) 也 只 是時 間 差 的 函 數(shù) ， 記 為 即 稱 和 是 ， 或 稱 這 兩 個 過 程平是定 義穩(wěn) 相 關 的聯(lián)：合 寬 平 穩(wěn) 的9 : ( ) ,{ 。 } .ttX t TX t T??例 一 族 隨 機 變 量 獨 立 同 分 布則 隨 機 過 程 是 嚴 平 穩(wěn) 的1: , , ,tnX F t t h?證 設 的 分 布 函 數(shù) 為 ， 對 任 意 不 同 任 意 ，1 1( , .. ., )nt t nP X x X x? ? ?1 1( ) .. . ( )nt t nP X x P X x??1( )... ( )nF x F x? 1 1( , ..., )nt h t h nP X x X x??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1212 , , , , ,nnX t X t X tX t h X t h X t h?? ? ?和同 分 布 ，{ 。 } .tX t T?? 是 嚴 平 穩(wěn) 的10 :,{ 。 } .ttt T XX t T?????例 設 是 一 隨 機 變 量 對 任 何 則 隨 機 過 程 是 嚴 平 穩(wěn) 的1: , , ,nt t h?證 對 任 意 不 同 任 意 ，11( , .. ., ) ( , .. ., )n h nt t t t hX X X X?? ? ??（ ， . . . , ) =11 ? ?( ) ( ) , ~ U ( 0 , 2 )X t a c o s tt??? ? ?? ? ? ? ? ? ?例 ： 隨 機 相 位 正 弦 波。 ( ) 0X t? ? （ 常 數(shù) ）2( , ) c o s (2X aR t t ? ? ? ??? 只 是 的 函 數(shù) ）{ ) }Xt? （ 是 寬 平 穩(wěn) 過 程? ?? ? ? ?22 1 ( ), 0 , 1 , 2 ,0 , ,kkkXkE X E X ?? ? ???例 ： 離 散 白 噪 聲設 兩 兩 不 相 關 ，則 有 ： ? ? ? ?2 ,0 X k lklR k l E X Xklkl?? ??? ???? 只 與 有 關 ， 所 以 是 寬 平 穩(wěn) 。 ? ?? ?20012, 0 , 1 , 2 ,0 , , , , 0 , 1 , 2 ,kNk k n k n kkNnXkEX DX Y a XN a a aYn???? ? ?? ? ?? ? ??例 ： （ 移 動 平 均 ）設 兩 兩 不 相 關 ，, 作其 中 是 自 然 數(shù) ， 而 是 常 數(shù)證 明 ： 是 平 穩(wěn) 序 列? ? ? ?00Nn k n kkE Y a E X ?????證： ? ? ? ?,Y n n mR n n m E Y Y ???00NNk n k j n m jkjE a X a X? ? ????? ????????? ???? ??????? ?00NNk j n k n m jkja a E X X? ? ???? ??nmY只 與 有 關 ， 所 以 是 平 穩(wěn) 序 列 。2 00Nk m kkm k Naa ???? ? ?? ?15 ? ? ? ?? ? ? ?3 0 ,S t T TX t S t?? ? ?例 ： 設 是 一 周 期 為 的 函 數(shù) ， 是 在 上 服 從 均 勻 分 布 的 隨 機變 量 ， 稱 為 隨 機 相 位 周 期 過 程 ， 試 討 論 它 的 平 穩(wěn) 性 。 ? ? 1 00 T Tf ?? ????? ??解：由假設， 的概率密度為: 其他? ? ? ? ? ?,XR t t E S t S t??? ? ? ? ? ? ?????? ?0 1T S t dT?????? ?1 tTt SdT ???? ? ? ? ? ?01 T SdT ???周期性＝＝＝ 常數(shù)所以隨機相位周期過程是平穩(wěn)的。? ? ? ?, E X t E S t? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于 是? ? ? ?1 tTt S S dT ? ? ? ?????? ? ? ?0 1T S t S t dT? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?01 T XS S d RT ? ? ? ? ???周期性 記為＝＝＝ ＝＝? ?? ?? ?14 ,2 ( , ] ~P X t IttXt? ? ? ?? ? ??例 ： 考 慮 隨 機 電 報 信 號 ，而 正 負 號 在 區(qū) 間 內(nèi) 變 化 的 次 數(shù) （ ） 討 論 的 平 穩(wěn) 性 . ? ? 0E X t ?????解 ：? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 2 2I P X t X t I I P X t X t I??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 , ,XR t t E X t X t? ? ?? ? ? ?????設? ?? ?? ?? ?2 2 12002 ! 2 1 !kkkkeeI ? ? ? ?? ? ? ? ??????????????? ????? ? ?2 2 20 !kkI e I ek? ? ? ???????????? ? 22,XR t t I e ?? ?? ???綜 合 得 ， ，故 是 平僅 與 有 關穩(wěn) 過 程 。? ? ? ? 220 , , , .XXR t t R t t I e ??? ? ?? ? ? ? ?若 則18 相關函數(shù)的性質(zhì) ? ? ? ?? ? 。 , [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]ttXXXtttR R t t E X t XE X X t E X t X R?????????????? ? ???? ? ??證 明 ：? ? ? ?221 . 0 0XXR E X t ?????? ? ?? ? ? ?X t Y t 設 和 是 平 穩(wěn) 相 關 過 程 , 則? ? ? ?? ? ? ?2 . ((XXXY Y XRRRR????????偶 函 數(shù) )既 不 是 奇 函 數(shù) ， 也 不 是 偶 函 數(shù) )? ? ? ?? ? ., [ ( ) ( ) ][