【文章內(nèi)容簡介】 l i mXXXXXXl i m Rl i m Rl i RRm??????????? ??? ??????????推 論均 值 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性均 值 不 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性對 隨 機 相存 在 的 條 件 下： ， 若 , 則 若 , 則注 意 位 正 弦 波 而 言 ， 不 存 在 , 但 它 的 均 值 是 各 在：態(tài) 歷 經(jīng) 的例 3：隨機電報信號的均值歷經(jīng)性 2 2 | |( ) 0XXR I e??????????因 為 當 時 ， ＝ , 所 以 均 值 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。1l im ( ) .2TTTX t d tT??? ?這 里 無 法 直 接 計 算 出注 ：39 2( ) , , ~ ( 0 , ) ,X t A c o s t B sin t tA B N????? ? ? ? ? ? ? ?例 4 ： 證 明 : 隨 機 過 程是 平 穩(wěn) 過 程 ； 其 中 是 常 數(shù) 與 獨 立 同試 討 論 此 過 程 的 均 值 是 否 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。( ) ( ) 0E A c os t E B si n t??? ? ?: ( ) [ ( ) ]X t E X t? ?證 明( , ) [ ( ) ( ( ) ( ) ) ]XR t t E A c o s t B sin t A c o s t B sin t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?22( ) ( ) ( ) ( )E A c o s tc o s t E B sin tsi n t? ? ? ? ? ?? ? ? ?22[ ( ) ( ) ]c os tc os t sin tsi n t c os? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?()Xt故 是 平 穩(wěn) 過 程 。40 ? ?11( ) ( )22TTTTX t l i m X t dt l i m Ac os t Bsin t dtTT????? ? ? ? ? ?? ?? ? ???方 法 一 ： 直 接 用 定 義 判 斷 ：? ? 201 TXXTl i m R dT ? ? ?? ?? ?? ????方 法 二 ， 用 定 理 一 判 斷 ：201 c o sTTlim dT ? ? ? ?? ? ?? ?2 sin 0TTlimT???? ? ???1 2 s in ( c o s c o s ( ) )[ ] 0 ,2 XTA T B T TlimT? ? ? ???? ? ???? ? ? ?()Xt即 的 均 值 具 有 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 。 各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價值在于從理論上保證了： 一個平穩(wěn)過程 X(t)，若 0t+∞ ，只要它滿足各態(tài)歷經(jīng)性 條件，便可以根據(jù)“以概率 1成立”的含義，從一次試驗所得到的樣本函數(shù) x(t)來確定該過程的均值和自相關函數(shù)。 ? ? ? ?? ?? ?000,1( ) 。 011?( ) ( ) ( ) ( ) . XXTXTTXx t TRx t d t TTR x t x t d t x t x t d tTT??????? ? ?????? ? ?? ? ? ??????如 果 試 驗 記 錄 只 在 時 間 區(qū) 間 上 給 出 ，則 相 應 的 的 無 偏 估 計 為 ：對 于 ，? ?? ? ? ? ? ?0011 TxTTxTli m x t d tTli m x t x t d t RT???? ? ?? ? ??????即 167。 3 平穩(wěn)過程的功率譜密度 (一 ) 平穩(wěn)過程的功率譜密度 ? ?? ?? ?2221. ,1x t tx t tW I R U R Rx t t? ? ? ? ??? ? ? ?確 定 性 信 號 的 功 率 譜 密 度 對 確 定 性 信 號 它 是 時 間 函 數(shù) ，例 如 ， 可 表 示 時 刻 的 電 流 強 度 或 電 壓 ，根 據(jù) 電 功 率 公 式 當 電 阻 時 ，表 示 信 號 在 時 刻 的 功 率 。43 ? ?? ? ? ? ,xtx t x t dt???????現(xiàn) 對 作 頻 譜 分 析 ：設 滿 足 狄 利 克 雷 條 件 ， 且? ?? ? ? ? itxxtF x t e dt????? ???? ? ? ? ? ???則 的 傅 里 葉 變 換 存 在 或 者 說 具 有 頻 譜 ：? ? ? ?1 2 it xx t e F d t? ???????? ? ? ? ? ???且 同 時 有 傅 里 葉 逆 變 換 ：? ? ? ?12 itxx t F e ????說 明 信 號 可 以 表 示 成 諧 分 量 的 無 限 疊 加 ， 其 中 稱 為 圓 頻 率 。? ? ? ?? ? ? ?* .xxxxtFFF?????頻一 般 是 復 函 數(shù) ， 稱 之 為 信 號 的其 共 軛譜 ，函 數(shù)44 ? ? ? ?? ? ? ? 22 12xxx t F Parse v alx t dt F d????? ? ? ?? ? ? ????在 信 號 與 之 間 成 立 有 等 式 ： 表 明 信 號 的 總 能 量 等 于 各 諧 分 量 能 量 的 疊 加45 ? ?? ?22,12TT Tx t dtli m x t dtT?????? ? ? ???????但 在 工 程 技 術(shù) 中 ， 通 常 總 能 量（ 例 如 周 期 性 信 號 就 是 如 此 ） 。而 平 均 功 率 ，為 此 利 用 傅 里 葉 變 換 給 出 平 均 功 率 的 譜 表 達 式 ：? ? ? ? ? ? 0 Tx t t Tx t x ttT???? ????作 的截尾函數(shù)：? ?Txt記 的 傅 里 葉 變 換 為 ：? ? ? ? ? ?, Ti t i txT TF T x t e d t x t e d t??? ?? ??? ? ?????46 ? ? ? ? ? ?, Ti t i txT TF T x t e d t x t e d t??? ?? ??? ? ?????? ?? ? ? ? ? ? 222 1 ,2TTTx Tx t Par s e v alx t dt x t dt F T d???? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ?的 等式為：? ? ? ?2 , ,TTxt??? ? ? ?兩邊除以 再令得 在 ， 上的平均功率可表示為：? ? ? ?? ?22211 ,2411 ,22TxTT TxTli m x t dt li m F T dTTli m F T dT????????? ? ? ?? ? ???? ? ????????? ? ? ?? ?21l i m ,2xx TS F TTxt???? ? ??其 中稱 功為 信 號 在 處 的 率 譜 密 度 。47 ? ?? ? ? ?222. ,1 1 1 ,2 2 2TXTX t tX t dt F T dTT?????? ? ?? ? ? ? ?????平 穩(wěn) 過 程 的 功 率 譜 密 度 設 平 穩(wěn) 過 程 ? ? ? ? 22,1 1 1 ,2 2 2TXTT TTl i m E X t dt l i m E F T dTT ?????? ? ? ? ?? ? ????? ????? ??兩 邊 取 數(shù) 學 期 望 ， 再 讓 得 ：48 ? ?? ? ? ?? ?20,1 ,2XXXTRS l i m E F TT???? ? ??即 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率 等 于 該 過 程 的 均 方 值 或等 式 右 邊 中 的 被 積 式 記 為 ：在 頻 率 域 中 稱 之 為 平 穩(wěn) 過 程 在 處 的 功 率 譜 密 度? ?? ? ? ? ? ?2211 022TT XTTXtl i m E X t dt l i m E X t dt RTT? ? ? ? ? ????? ?????????? ??等 式 左 邊 稱 為 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率? ?? ? ? ?? ?2 1 02XX X XSR S dXt?? ? ???????? ?利 用 記 號 及 簡 化 結(jié) 果 得 ：此 式 稱 為 平 穩(wěn) 過 程 的 平 均 功 率 的 譜 表 達 式49 （二 ) 譜密度的性質(zhì) ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2. 12—XXiiX X X XSRS R e d R S e d?? ????? ? ? ? ? ???? ????? ??????和自相關函數(shù) 是一傅里葉變換對， 即 ； 它們統(tǒng)稱為 維納 辛欽公式? ?? ? ? ? ? ?2, ,1.X X XXSF T F T F T? ? ?????? 事 實 上 ， 因 為 是 的 實 的 、 非 負 的 偶 函 數(shù) ， 所 以 它 的 均 值 的 極 限 也 必是是的 實實 的的 、 非 負 的 偶 函 數(shù)、 非 負 的 偶 函 數(shù)? ?XS ?譜密度 有以下重要性質(zhì)：? ? ? ?? ? ? ?,.3.2iXXiXXXXXXXR e d SS e d RSRRSSR????? ? ?? ? ????????????????X＝ ；由 于 和 都 是 實 偶 函 數(shù) 所 以的 傅 立 葉 變 換 為的 傅 立 葉 變 換 為 2即，?1 2 3 4 5 6 7 ? ?XS ?? ?XR ?ae ????1T?? ? 1 0 N TR T T? ?? ?? ???? ?? ??T?1 ??t??1 ? ? 1XR ? ??0sin????0cos t??0ae cos t? ??222aa ????0?0??? ? ? ?00? ? ? ? ? ? ?? ? ??????1 ? ? 1XS ? ??2? ? ? ? ?2XS ? ?? ??1?0?? 0?? ? 001 0 XS ??? ?????? ? ????0?? 0?? ? ? ? ? ?222200X aaS aa? ? ? ? ???? ? ? ??? ?2 242sin TT??自相關函數(shù)與譜密度對應表 ????52 ? ? ? ?? ? ? ?1 aX