【正文】 1 2 1 2()P f h h f a ff ω h h f a? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?S S S S a S SS S a S S? 進一步化簡 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) c o s s in ]P f h h a? ? ?? ? ?螺旋的相逆性 ? 另外，此 運動螺旋與力螺旋的互易積可表示為 ? 展開并整理 ? 進一步化簡 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) c o s s in ]f f h h a? ? ? ?? ? ?$$0210122211 Cvf$$ ?? ???f?1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1( ) ( )f f h f h? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?$ $ S r S S S r S S螺旋的相逆性 ? 通過對比前兩頁結(jié)果，可以得到一個重要結(jié)論： 表示 力螺旋和運動螺旋的互易積正是該兩螺旋產(chǎn)生的瞬時功率 ? 如果所研究的兩螺旋 互易積為零 ? 這表示力螺旋對作螺旋運動物體的瞬時功率為零 ? 這里稱這個與螺旋 1構(gòu)成互易積為零的螺旋 2為螺旋 1的 反螺旋 02211 ?$$ f??螺旋的相逆性 ? 當(dāng)兩個螺旋的 互易積為零 時 ： （ 1） 若一個螺旋表示了機械系統(tǒng)的約束反力，另一個則是為機械系統(tǒng)所允許的運動； （ 2） 反之，若一個螺旋表示了物體的運動，另一個則是機械系統(tǒng)所產(chǎn)生的約束。 ? 當(dāng)兩個螺旋的 互易積 不 為零 時 ： （ 1） 若 物體發(fā)生了 運動 ，則這個做功的力就是物體的驅(qū)動力； （ 2）若該力螺旋表示機械系統(tǒng)的約束反力，則滿足互易積不為零的運動螺旋就是被系統(tǒng)約束的運動 。 螺旋的相逆性 ? 兩螺旋互易積為零的解析 式還可以寫為 0s inc o s)( 12121221 ??? ?? ahh? 可知： 螺旋的相逆性只與兩個螺旋的參數(shù)有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2[ ( ) c o s s in ]f f h h a? ? ? ?? ? ?$$? 由于 螺旋的相逆性 ? 線矢量和偶量的相逆性概括如下： （ 1）兩線矢量相逆的充要條件是他們共面，不共面的兩線矢量必不相逆； （ 2）兩個偶量必相逆； （ 3）線矢量與偶量僅當(dāng)垂直才相逆，不垂直不相逆； （ 4）線矢量和偶量皆自逆； 螺旋的相逆性 ? 兩個線矢量 ? ?1 1 1 1。??$ S r S? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2 2 2 1 12 1 1 21 2 1 2 sin 0a ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???$ $ S r S S r Sr r S S12 120 = 0a ?? 或 兩線矢量相逆的充要條件是他們共面（相交或平行） ? 可知 ? ?2 2 2 2。??$ S r S? 根據(jù)前面的互易積公式，有 螺旋的相逆性 ? 兩個偶量 ? ?110。?$S12 0?$$? ?220。?$S? 可知，此式恒等于零 兩個偶量必相逆。 ? 根據(jù)前面的互易積公式，有 螺旋的相逆性 ? 一個線矢量和一個偶量 ? ?1 1 1 1。??$ S r S? 根據(jù)互易積公式，有 1 2 1 2 1 2c o s 0?? ? ? ?$ $ S S12 =90?線矢與偶量僅當(dāng)垂直才相逆 ? ?220。?$S? 可知互逆的條件為 螺旋的相逆性 ? 由于滿足 線矢量和偶量皆自逆 ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1 1 0? ? ? ? ? ? ?$ $ S r S S r S? 一個線矢量和一個偶量 ? ?1 1 1 1。??$ S r S ? ?220。?$S22 0?$$螺旋的相逆性 ? 一般螺旋的相逆性概括如下 ： （ 1）任何垂直相交的兩旋量必相逆，與節(jié)距大小無關(guān)； （ 2）共面時節(jié)距大小相等而符號相反的兩旋量才相逆； （ 3）同軸時節(jié)距大小相等而符號相反的兩旋量也相逆； （ 4）當(dāng)給出節(jié)距為 h1的旋量，在與其相錯的空間另一條確定的直線上，存在唯一的節(jié)距為 h2的反螺旋； 0s inc o s)( 12121221 ??? ?? ahh螺旋的相逆性 ? 例： 有一單位螺旋 ，有一直線 求過 $2與 $1 相逆的反螺旋 $r ? )。( 0111 SS$ ? 2 2 0 2( 。 )?$ S S由于 $r 經(jīng)過 $2 ，則直線 $2 為 $r 的軸線，有 2 2 2 2 2( 。 )r h? ? ?$ S r S S式中只有 h2是未知的，且可以根據(jù)下式進行求解 01 1 0 2 2 2 2 1()r h? ? ? ? ?$ $ S S S S S螺旋相逆性條件（ 4） 當(dāng)給出節(jié)距為 h1的旋量，在與其相錯的空間另一條確定的直線上，存在唯一的節(jié)距為h2的反螺旋； 螺旋的相逆性 反螺旋系 ? 用一螺旋副 $1將一物體聯(lián)于機架，物體具有一個自由度， 若轉(zhuǎn)動角速度為 ω，運動螺旋為 ω$1， 其 Pl252。cker 坐標(biāo)為 ),。,(111111 RQPNML? 如另外有一力螺旋 f$r作用于物體上 ，其 Pl252。cker 坐標(biāo)為 ),。,( rrrrrr RQPNML? 若 f$r是運動螺旋 ω$1的反螺旋，則 0111111 ?????? rrrrrr NRMQLPRNQMPL? 因此，則 當(dāng)已知運動螺旋 ω$1時 ，可由此齊次線性方程計算其反螺旋，找到與此運動螺旋相逆的力螺旋。 螺旋的相逆性 ? 若把坐標(biāo)系 XYZ的 Z軸選擇與 S1重合 ， 則運動螺旋可表示為 ? 此運動螺旋的一組 5個線性無關(guān)的反螺旋 可寫為 ? ?h00。1001 ?$? ?? ?? ?? ?? ?r1r22324353: 0 0 1 。 0 0: 1 0 0 。 0 0: 1 0 0 。 0 0: 0 1 0 。 0 0: 0 1 0 。 0 0rrrhhhhh???$$$$$? 單螺旋的反螺旋只決定于一個線性方程，其秩為 1，待決定的參數(shù) 有 6個，所以它的基礎(chǔ)解系包括 5個解向量。 螺旋的相逆性 這是 僅含一個螺旋的單螺旋系，存在一組 5個線性無關(guān)的反螺旋 ，由于運動螺旋的 6個元素中 5個為零，反螺旋可以直接從該式判斷得到 ? 例： 一個剛體繞轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)動，其運動 螺旋 可表示為 ? ?000。010?$? ?? ?? ?? ?? ?123451 0 0 。 0 0 00 1 0 。 0 0 00 0 1 。 0 0 00 0 0 。 1 0 00 0 0 。 0 0 1rrrrr?????$$$$$螺旋的相逆性 這是 僅含一個螺旋的單螺旋系，存在一組 5個線性無關(guān)的反螺旋 ，由于運動螺旋的 6個元素中 5個為零，反螺旋可以直接從該式判斷得到 ? 例： 一個剛體繞沿移動副移動，其運動 螺旋 可表示為 ? ?0 0 0 。 1 0 0?$? ?? ?? ?? ?? ?123450 1 0 。 0 0 00 0 1 。 0 0 00 0 0 。 1 0 00 0 0 。 0 1 00 0 0 。 0 0 1rrrrr?????$$$$$螺旋的相逆性 ? 這 5個反螺旋它們表示的是支座對物體的 5個約束 ? 這里的 力是一個支座約束反力，它作用后不能產(chǎn)生沿力方向的加速度 ? 約束力偶則反映物體失去了沿力偶矢量方向的轉(zhuǎn)動自由度。 ? 這里 的 反螺旋反映的是被約束的運動，是機械系統(tǒng)對物體的“約束”，雖然它也稱為約束力，它并不是物理量中的“力” 。 ? 這樣的反螺旋是不能線性疊加的，不能求和，每一個都單獨表示了一個約束，都約束了一個自由度。 螺旋的相逆性 ? 可知，對于一個 秩為 r（ r ≤ 6）的 螺旋系 ， 它的反螺旋的數(shù)目為 6r ? 如果一個螺旋系的秩為 6， 任何一個與此 6個螺旋相逆的反螺旋，必同時滿足下列六個方程 0 , 1 , 2 , . . . , 6rj i??$$? 可以看出，此方程組只有零解，即 沒有任何反螺旋能同時與此線性無關(guān)的六個螺旋相逆 ? 一個螺旋系的秩和其反螺旋系的秩之和為 6 螺旋的相逆性 ? 例：如圖所示 平面串聯(lián) 機械手，請給出其運動螺旋系和約束螺旋系？ 它們的反螺旋可按下式求得 對于 這個 齊次線性方程組，其秩 r=3 ，反螺旋的數(shù)目有 3個 這 3個轉(zhuǎn)動副的螺旋表達式 為 ? ?? ?? ?0。1000。100000。1003332221eded???$$$3,2,1,0 ?? iri $$ ?? ?? ?? ?010。000001。000000。100321???rrr$$$約束力，限制 Z方向移動 約束力偶，限制繞 X軸轉(zhuǎn)動 約束力偶，限制繞 Y軸轉(zhuǎn)動 螺旋的相逆性 轉(zhuǎn)動副的反螺旋 ? ?1 1 1 1。??$ S r S? 若反螺旋為約束力，也是一個線矢量 ? ?2 2 2 2。??$ S r S? 由于兩個線矢量互逆的充要條件是共面，可知： 僅當(dāng)約束力與轉(zhuǎn)動副軸線共面時，兩者互為反螺旋 ? 若反螺旋為約束力偶，是一個偶量 ? ?220。?$S? 由于線矢量和偶量互逆的條件是相互垂直，可知： 僅當(dāng)約束力偶與轉(zhuǎn)動副軸線相互垂直時，兩者互為反螺旋 螺旋的相逆性 移動副的反螺旋 ? 若反螺旋為約束力，也是一個線矢量 ? ?2 2 2 2。??$ S r S? 若反螺旋為約束力偶，是一個偶量 ? ?220。?$S? 由于任何兩個偶量皆互逆，可知： 任何約束力偶都與移動副互為反螺旋 ? ?110。?$S? 由于線矢量和偶量互逆的條件是相互垂直，可知： 僅當(dāng)約束力與移動副軸線相互垂直時，兩者互為反螺旋