機(jī)器人路徑規(guī)劃-資料下載頁(yè)
2025-08-07 10:51本頁(yè)面
【正文】 節(jié)角位置函數(shù)的 n+1個(gè) 值（路徑點(diǎn)） qi， i=0,1,2,…, n。要求構(gòu)造一個(gè)三次樣條插值函數(shù) q(t)，滿足以下條件： 1） q(ti)=qi， i=0,1,2,…, n。 2）在每個(gè)子區(qū)間 [ti, ti+1]上， q(ti)是三次多項(xiàng)式。 3） q(t)在整個(gè)運(yùn)行區(qū)間 [0, tf]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 從上面的定義可以發(fā)現(xiàn)，樣條插值函數(shù) q(t)是分段三次多項(xiàng)式，即在每個(gè)子區(qū)間上都是一個(gè)三次多項(xiàng)式。 確定樣條插值函數(shù) q(t)只需要 n+1個(gè) 路徑點(diǎn) qi值，而不需要其導(dǎo)數(shù) (速度 )值，且在整個(gè)機(jī)械臂運(yùn)行時(shí)間內(nèi) 樣條插值函數(shù) q(t)的二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。 15 ?三次樣條插值函數(shù) q(t)的存在性 因?yàn)槊總€(gè)區(qū)間都是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此有 4個(gè)未知量，有 n個(gè)子區(qū)間，所以未知量個(gè)數(shù)共有 4n 個(gè)。 每個(gè)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是事先指定的，所以有 2n 個(gè)約束， n1個(gè)中間點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)（速度和加速度）連續(xù)，所以有 2(n1) 個(gè)約束。 約束的個(gè)數(shù)為 2n+2(n1)=4n 2 因此，單從三次樣條插值函數(shù) q(t)的定義不能唯一確定函數(shù)本身。 對(duì)于機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問(wèn)題，一般要求初始點(diǎn)和終止點(diǎn)的速度（一階導(dǎo)數(shù)）為零，恰好補(bǔ)充兩個(gè)約束條件。因此，三次樣條插值函數(shù) q(t)可以唯一確定。 2310 11 12 13()t a a t a t a tq ? ? ? ? 2320 21 22 23()t a a t a t a tq ? ? ? ? 下面以具有一個(gè)中間點(diǎn)的關(guān)節(jié)角軌跡規(guī)劃問(wèn)題為例驗(yàn)證三次樣條插值方法，假定兩段區(qū)間的長(zhǎng)度均為 tf，指定中間點(diǎn)關(guān)節(jié)角的位置。兩段函數(shù)假設(shè)為 解為： 10 011212 0313 00( 12 3 9 ) / ( 4 )( 8 3 5 ) / ( 4 )m f fm f faaatqq q qq q q??? ? ? ?2021 0222 0323 0( 3 3 ) /( 4 )( 1 2 6 6 ) /( 4 )( 8 5 3 ) /( 4 )mffm f fm f faatatqqqq q qq q q??? ? ?? 16 例 73假設(shè)一個(gè)具有單旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)單自由度機(jī)器人，起始點(diǎn)和終止點(diǎn)速度為零，且位置滿足 q0 =15o， qf =45o。設(shè)置一個(gè)中間點(diǎn)，位置為 qm =75o。假設(shè)兩段區(qū)間的長(zhǎng)度均為 2秒。求滿足約束條件的三次樣條插值多項(xiàng)式，并畫出關(guān)節(jié)角位置、速度和加速度隨時(shí)間變化的曲線。 17 ?笛卡爾空間規(guī)劃方法 前面介紹的關(guān)節(jié)空間規(guī)劃方法可以保證機(jī)械臂能夠達(dá)到中間點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)。但是連接這些點(diǎn)的中間路徑在笛卡爾空間可能是非常復(fù)雜的，其復(fù)雜程度取決于機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)。 如果我們關(guān)心機(jī)械臂在笛卡爾空間的整個(gè)路徑，而不僅僅是關(guān)鍵點(diǎn)，如期望工具直線運(yùn)動(dòng)、畫圓等，就需要采用笛卡爾空間規(guī)劃方法。 在笛卡爾空間規(guī)劃路徑要比在關(guān)節(jié)空間規(guī)劃路徑困難，所以除非必要，一般均采用關(guān)節(jié)空間路徑規(guī)劃方法。 由于機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)能力總是有限的，所以對(duì)關(guān)節(jié)的速度和加速度需要進(jìn)行限制。 若規(guī)劃的軌跡不滿足要求，可以通過(guò)增加運(yùn)行時(shí)間的方法來(lái)減小關(guān)節(jié)的速度和加速度。 1
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