不等式證明(20xx年10月)-資料下載頁
2025-08-05 18:16本頁面
【正文】 ,d都是實(shí)數(shù)，且 a2+b2=1,c2+d2=1,求證 :∣ ac+bd∣ ≤1 huan zong bi fen 證法 1:（ 換元法 ） a2+b2=1,c2+d2=1. 可設(shè) a=cosα,b=sinα, c=cosβ,d=sinβ, ∣ ac+bd∣ =|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(αβ)|≤1. 證法 2:(綜合法 ) ∣ ac+bd∣ ≤∣ ac∣ +∣ bd∣ ≤ + = =1 22222 dcba ???222 ca ?222 db ?證法 3:(比較法 )顯然有∣ ac+bd∣ ≤1 1≤ac+bd≤1. 先證 ac+bd≥1, ∵ ac+bd+1=ac+bd+ + =ac+bd+ + = ≥0, ∴ ac+bd≥1. 2121222 ba ?222 dc ?2)()( 22 dbca ???再證 ac +bd ≤ 1, ∵ 1(ac+bd)= + (ac+bd) = + acbd = ≥0, ∴ ac+bd ≤ 1. 綜上得 ∣ ac+bd∣ ≤1 2121222 ba ?222 dc ?2)()( 22 dbca ???證法 4（分析法） 要證 ∣ ac+bd ∣ ≤ 1 , 只需證 (ac+bd)2 ≤ 1 . 即只要證 a2c2+2abcd+b2d2 ≤ 1 . 由于 a2+b2=1 , c2+d2=1, 因此上式等價(jià)于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2 )(c2+d2) 即證 (adbc)2≥0, 而 (adbc)2≥0顯然成立 . 故 ∣ ac+bd ∣ ≤ 1 . 練習(xí) 已知 abc, 求證： + ba ?1cb ?1 ?ca ?4 ： x﹥ 0, y﹥ 0, z﹥ 0, 求證： + x+y+z. + yxyx ??2 22 zyzy ??已知 x0,求證： 422 ?xx ?21 總結(jié) (1)不等式的方法是多種多樣的，要根據(jù)不等式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā? (2)一些不等式證明之前要先做必要的變形，然后再與熟知或證明過的不等式進(jìn)行聯(lián)想、類比，從而選擇最佳證法。
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