【正文】 （C）2 ? （D） ?【答案】A【解析】選 ，球 O的直徑為 2RS?， ?表面積為 ??4.（2022 安徽文）一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的 4 個側(cè)面積之和。2(1082)(682)360S??????.【方法技巧】的組合體，畫出直觀圖，加上面長方體的 4 個側(cè)面積之和。5.（2022 重慶文）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（A）只有 1 個 （B）恰有 3 個（C）恰有 4 個 （D）有無窮多個【答案】 D【解析】放在正方體中研究,顯然，線段 1O、EF、FG、GH、HE 的中點到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離都相等， 所以排除 A、B、C，選 D亦可在四條側(cè)棱上找到四個點到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離相等6.（2022 浙江文）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）352cm3 （B）0cm3（C）243cm3 （D）1603cm3【答案】B【解析】選 B，本題主要考察了對三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題7.（2022 福建文）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于 ( )A． 3 B．2 C． 2 D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為 2，高為1 的正三棱柱，所以底面積為 324??，側(cè)面積為 316??，選 D．8.（2022 全國卷 1 文）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) 23 (B)43 (C) 3 (D) 83【答案】B【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點 P 到 CD 的距離為 h,則有ABCD12233Vh???四 面 體,當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點時,2max13??,故max4平面解析幾何初步一、基礎(chǔ)知識（理解去記）1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點構(gòu)成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如 x2+y2=1 是以原點為圓心的單位圓的方程。2．求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點都滿足方程（實際應(yīng)用常省略這一步） 。3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與 x 軸正方向所成的小于 1800 的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于 x 軸的直線的傾斜角為 00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點及斜率可求直線方程。4．直線方程的幾種形式：【必會】 【必考】（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點斜式：yy0=k(xx0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：1??byax；（5）兩點式： 1212yx?；（6）法線式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中 θ 為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離） ；（7）參數(shù)式： ???????sinco0ty（其中 θ 為該直線傾斜角） ，t 的幾何意義是定點 P0（x0, y0）到動點 P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負(fù)號，若 P0P 方向向上則取正，否則取負(fù)） 。5．到角與夾角：若直線 l1, l2 的斜率分別為 k1, k2，將 l1 繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與 l2 重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫 l1 到 l2 的角；l1 與 l2 所成的角中不超過 900 的正角叫兩者的夾角。若記到角為 θ，夾角為 α，則 tanθ= 21k??,tanα= 21k??.6．平行與垂直：若直線 l1 與 l2 的斜率分別為 k1, k2。且兩者不重合，則 l1//l2 的充要條件是 k1=k2；l1 ?l2 的充要條件是 k1k2=1。7．兩點 P1(x1, y1)與 P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=2121)()(yx?。8．點 P(x0, y0)到直線 l: Ax+By+C=0 的距離公式： 20||BACyd??。9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是 l1：A1x+B1y+C1=0 與 l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2 交點的直線方程為 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由 l1 與 l2 組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1） （A2x+B2y+C2）=0；與 l2 平行的直線方程為 A1x+B1y+C=0( 1?).10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線 l 方程為 Ax+By+C=0. 若 B0，則 Ax+By+C0表示的區(qū)域為 l 上方的部分，Ax+By+C0 表示的區(qū)域為 l 下方的部分。11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以 x 和 y 表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。12．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心是點(a, b)，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(yb)2=r2，其參數(shù)方程為 ??????sincorbyax（θ 為參數(shù)） 。13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0)。其圓心為???????2,ED，半徑為FED4212??。若點 P(x0, y0)為圓上一點，則過點 P 的切線方程為.02022 ???????????????FyExDyx ①14．根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分） ，這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0。 (D2D3)x+(E2E3)y+(F2F3)=0。 (D3D1)x+(E3E1)y+(F3F1)=0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、基礎(chǔ)例題（必會）1．坐標(biāo)系的選取：建立坐標(biāo)系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。例 1 （經(jīng)典例題） 在 ΔABC 中，AB=AC，∠A=900，過 A 引中線 BD 的垂線與 BC 交于點 E，求證：∠ADB=∠CDE。[證明] 見圖 101，以 A 為原點，AC 所在直線為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點 B，C 坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點 D 坐標(biāo)為（a, 0） 。直線 BD 方程為12??ayx， ①直線BC 方程為 x+y=2a， ②設(shè)直線 BD 和 AE 的斜率分別為 k1, k2，則 k1=2。因為 BD?AE，所以 k1k2= 21?k，所以直線 AE 方程為xy21?，由 ??????ayx2,解得點 E 坐標(biāo)為??????a32,4。所以直線 DE 斜率為.234??ak因為 k1+k3=0.所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。例 2 （經(jīng)典例題）半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為 600。[證明] 以 A 為原點，平行于正三角形 ABC 的邊 BC 的直線為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系見圖102，設(shè)⊙D 的半徑等于 BC 邊上的高，并且在 B 能上能下滾動到某位置時與 AB，AC 的交點分別為 E，F(xiàn)，設(shè)半徑為 r，則直線 AB，AC 的方程分別為 y3?, x?.設(shè)⊙D 的方程為(xm)2+y2=r2.①設(shè)點 E，F(xiàn) 的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則 ,11223xy??，分別代入 ①并消去 y 得 .03).(0)( 22211 ?????rxmxrm所以 x1, x2 是方程 4x22mx+m2r2=0 的兩根。由韋達(dá)定理 ???????4,21?rmx，所以|EF|2=(x1x2)2+(y1y2)2=(x1x2)2+3(x1x2)2=4(x1+x2)24x1x2=m2(m2r2)=r2.所以|EF|=r。所以∠EDF=600。2．到角公式的使用。例 3 設(shè)雙曲線 xy=1 的兩支為 C1，C2，正 ΔPQR 三頂點在此雙曲線上，求證：P，Q，R 不可能在雙曲線的同一支上。[證明] 假設(shè) P，Q，R 在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支 C1 上，并設(shè) P，Q，R 三點的坐標(biāo)分別為,1,132????????????xx且 0x1x2x3. 記∠RQP=θ，它是直線 QR 到 PQ 的角，由假設(shè)知直線 QR，PQ 的斜率分別為 32311xxk??，.12212xk??由到角公式.0)(11tan 321322 ?????xxk?所以 θ 為鈍角，與 ΔPQR 為等邊三角形矛盾。所以命題成立。3．代數(shù)形式的幾何意義。例 4 求函數(shù) 1163)(2424 ?????xxxf的最大值。[解] 因為22)0()()()表示動點 P(x, x2)到兩定點 A(3, 2), B(0, 1)的距離之差，見圖 103，當(dāng) AB 延長線與拋物線 y=x2 的交點 C 與點P 重合時，f(x)取最大值|AB|= .104．最值問題。例 5 已知三條直線 l1: mxy+m=0, l2: x+mym(m+1)=0, l3: (m+1)xy+m+1=0 圍成ΔABC，求 m 為何值時，ΔABC 的面積有最大值、最小值。[解]記 l1, l2, l3 的方程分別為①，②，③。在①，③中取 x=1, y=0，知等式成立，所以 A(1, 0)為 l1 與 l3 的交點；在②，③中取 x=0, y=m+1，等式也成立，所以 B(0, m+1)為 l2 與 l3 的交點。設(shè) l1, l2 斜率分別為 k1, k2, 若 m?0，則 k1?k2=1????????m, SΔABC=||21BCA?，由點到直線距離公式|AC|= 1||1| 22????m，|BC|= 2211|| m???。所以 SΔABC=???????22。因為 2m≤m2+1 ，所以 SΔABC≤ 43。又因為m21≤2m，所以 12???，所以 SΔABC≥.41當(dāng) m=1 時， （SΔABC）max= 43；當(dāng) m=1 時， （SΔABC）min= .5．線性規(guī)劃。例 6 設(shè) x, y 滿足不等式組 ???????.|32|,41xy（1）求點(x, y)所在的平面區(qū)域；（2）設(shè) a1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù) f(x,y)=yax 的最大值、最小值。[解] （1）由已知得????????,032,4xy或?????????.032,41xy解得點(x, y)所在的平面區(qū)域如圖 104 所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x5；CD：y=2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線 l: yax=k 在 y 軸上的截距，直線 l 與陰影相交，因為 a1，所以它過頂點 C 時，f(x, y)最大，C 點坐標(biāo)為（3，7） ，于是 f(x, y)的最大值為 3a+7. 如果1a≤2，則 l 通過點 A（2，1）時，f(x, y)最小，此時值為2a1；如果 a2，則 l 通過B（3，1）時，f(x, y)取最小值為3a+1.6．參數(shù)方程的應(yīng)用。例 7 如圖 105 所示，過原點引直線交圓 x2+(y1)2=1 于 Q 點，在該直線上取 P 點，使 P到直線 y=2 的距離等于|PQ|，求 P 點的軌跡方程。[解] 設(shè)直線 OP 的參數(shù)方程為 ?????sincotyx（t 參數(shù)） 。代入已知圓的方程得 t2t?2sinα=0.所以 t=0 或 t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t2sinα|，而|PM|=|2tsinα|.所以|t2sinα|=|2tsinα|. 化簡得 t=2 或 t=2 或 sinα=1.當(dāng) t=177。2 時，軌跡方程為 x2+y2=4；當(dāng) sinα=1 時，軌跡方程為 x=0.7．與圓有關(guān)的問題。例 8 點 A，B，C 依次在直線 l 上，且 AB=ABC，過 C 作 l 的垂線，M 是這條垂線上的動點，以 A 為圓心，AB 為半徑作圓，MT1 與 MT2 是這個圓的切線，確定 ΔAT1T2 垂心 的軌跡。[解] 見圖 106，以 A 為原點，直線 AB 為 x 軸建立坐標(biāo)系，H 為 OM 與圓的交點，N 為T1T2 與 OM 的交點，記 BC=1。