【正文】 （單位）3）求截距。 若橫坐標(biāo)起點(diǎn)為零，則可將直線用虛線延長(zhǎng)得到與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，便可求出截距， （單位）下面介紹用圖解法求兩物理量線性關(guān)系的實(shí)例。例題：用惠斯登電橋測(cè)定銅絲在不同溫度下的電阻值，數(shù)據(jù)記錄見(jiàn)表291。求銅絲的電阻與溫度的關(guān)系。表291 銅絲的電阻與溫度的關(guān)系溫度t ( ℃ )電阻R（Ω）溫度t ( ℃ )電阻R（Ω）解 以電阻R為縱坐標(biāo)，溫度t為橫坐標(biāo)，,，繪制銅絲的電阻與溫度的關(guān)系曲線（見(jiàn)圖291）。由圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)分布可知，銅絲電阻與溫度為線性關(guān)系，滿足下面的線性方程，即 R=+βt在圖線上取兩代表點(diǎn)（t1,R1）和(t2,R2)代入上式，得 R1 =+ β t1 R2=+ β t2從而可以計(jì)算出線性方程的斜率β和截距a，即 β=和 =代表點(diǎn)的選取應(yīng)考慮到它們之間的距離盡可能大些。這樣不致于在兩數(shù)相減（R2－R1）和（t2－t1）時(shí)，有效數(shù)字減少，而使得結(jié)果準(zhǔn)確度降低。為此，取t1=℃，R1==℃，R2= β=℃ =所以，銅絲電阻與溫度的關(guān)系為R=+ （Ω）3．逐差法在兩個(gè)變量間存在多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系，且自變量為等差級(jí)數(shù)變化的情況下，用逐差法處理數(shù)據(jù)，既能充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，又具有減小誤差的效果。具體做法是將測(cè)量得到的偶數(shù)組數(shù)據(jù)分成前后兩組，將對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別相減，然后再求平均值。下面舉例說(shuō)明。在拉伸法測(cè)定鋼絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)中，已知望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)x和所加砝碼質(zhì)量m之間滿足線性關(guān)系，m=kx，式中k 為比例常數(shù)。等差地改變砝碼個(gè)數(shù)（），測(cè)得下列一組數(shù)據(jù)（見(jiàn)表292），計(jì)算k的數(shù)值。表292次數(shù) 砝碼質(zhì)量（㎏）標(biāo)尺讀數(shù)（cm）102132435465768798109如果逐項(xiàng)相減，㎏砝碼標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值，即 于是比例系數(shù)這樣，中間測(cè)量值共7個(gè)數(shù)據(jù)全部未用上，只用了始末兩個(gè)數(shù)據(jù)，它與一次增加9個(gè)砝碼的單次測(cè)量等價(jià)。實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確度降低了。若改用多項(xiàng)間隔逐差，即將上述數(shù)據(jù)分成后組（x10,x9,x8,x7,x6）和前組（x5,x4,x3,x2,x1）,然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減求平均值，即 于是，是每增加5個(gè)砝碼，標(biāo)尺讀數(shù)變化的平均值。這樣全部數(shù)據(jù)都用上，相當(dāng)于重復(fù)測(cè)量5 次，應(yīng)該說(shuō)，這個(gè)計(jì)算結(jié)果比前面的計(jì)算結(jié)果要準(zhǔn)確些，它保持了多次測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，減少了測(cè)量誤差。4．最小二乘法（線性回歸）將實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫成圖線，可以形象地表示出物理規(guī)律，但圖線的表示往往不如用函數(shù)表示那樣明確和定量化。另外，用圖解法處理數(shù)據(jù)，由于繪制圖線有一定的主觀隨意性，同一組數(shù)據(jù)用圖解法可能得出不同的結(jié)果。為此，下面介紹一種利用最小二乘法來(lái)確定一條最佳直線的方法，從而準(zhǔn)確地求得兩個(gè)測(cè)量值之間的線性函數(shù)關(guān)系（即經(jīng)驗(yàn)方程）。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求經(jīng)驗(yàn)方程，稱之為方程的回歸?；貧w法首先要確定函數(shù)的形式。函數(shù)形式的確定一般是根據(jù)理論的推斷或者從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)而推測(cè)出來(lái)。如果推斷物理量x和y之間的線性關(guān)系，則可把函數(shù)形式寫成 y= A + Bx (291)自變量只有x一個(gè)，故稱為線性回歸。這是方程回歸中最簡(jiǎn)單最基本的問(wèn)題?；貧w法可以認(rèn)為就是用實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)來(lái)確定方程中的待定系數(shù)。在一元線性回歸中確定A和B，相當(dāng)于作圖法中求直線的截距和斜率。我們討論最簡(jiǎn)單的情況，即每個(gè)測(cè)量值都是等精度的，且假定x和y值中只有y有明顯的測(cè)量隨機(jī)誤差。如果x與y均有誤差，只要把相對(duì)來(lái)說(shuō)誤差較小的變量作為x即可。設(shè)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù) 相對(duì)應(yīng)的 方程（291）既然是物理量y和x間所服從的規(guī)律，所以在A，B確定以后，如果實(shí)驗(yàn)沒(méi)有誤差，把（）,(), …代入式（291）時(shí)，方程的左右兩邊應(yīng)該相等。但實(shí)際上，測(cè)量總伴隨著測(cè)量誤差。我們把這些誤差歸結(jié)為y的測(cè)量偏差，并記作。這樣，把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（）,(), …代入式（291）后，得到y(tǒng)1－A－Bx1= y2－A－Bx2= … (292)yn－A－Bxn= 利用方程組（292）來(lái)確定A和B，那么，A和B應(yīng)該滿足什么要求呢？顯然，比較合理的A和B是使數(shù)值上都比較小。從幾何意義來(lái)看，y=A+Bx是直線（見(jiàn)圖292），A和B決定了直線的取法，（）,(), …，（）是實(shí)驗(yàn)所得的點(diǎn)，是這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)跟直線的縱坐標(biāo)的偏差，要求選取的點(diǎn)盡量與這些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)都很接近自然是合理的。但是，每次測(cè)量的誤差不會(huì)一樣，反映在大小不一上，而且符號(hào)也不盡相同。所以只能要求總的偏差最小，即最小。由于處理數(shù)據(jù)的方法要滿足偏差的平方和為最小，故稱最小二乘法。把式（292）中各式平方相加得 （293）為求的最小值，應(yīng)使， ，和。把式（293）分別對(duì)A和B求偏導(dǎo)數(shù)得 (294)令(294)等于零,得 (295)令表示x的平均值,即令表示y的平均值,即令表示的平均值,即令表示的平均值,即 代入式(295)得 (296)解方程得 A= 式中,A即為直線y=A+Bx的截距，B為斜率。 用回歸法處理數(shù)據(jù)最困難的問(wèn)題在于函數(shù)形式的選取，函數(shù)形式的選取主要靠理論上的分析，在理論上還不清楚的場(chǎng)合，只能靠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)來(lái)推測(cè)。這樣，對(duì)同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，不同的人員可能取不同的函數(shù)形式，得出不同的結(jié)果。為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定后，還需要計(jì)算一下相關(guān)系數(shù)r。對(duì)于一元線性回歸，r的定義為： 可以證明，r的值總是在0和1之間。r值越接近1，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集地分布在所求得的直線的近旁，用線性函數(shù)回歸是合適的，見(jiàn)圖293。相反，如果r值遠(yuǎn)小于1而接近0（圖294），說(shuō)明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)求得的直線很分散，即線性回歸不妥，必須用其它函數(shù)重新試探。2．10 習(xí) 題其直徑的10次測(cè)量值如下表所示：直徑（mm）12345678910計(jì)算直徑D的平均值、不確定度（用UD表示）和相對(duì)不確定度（用UrD表示），并用標(biāo)準(zhǔn)形式表示測(cè)量結(jié)果。指出下列測(cè)量值為幾位有效數(shù)字，哪些數(shù)字是可疑數(shù)字，并計(jì)算相對(duì)不確定度。（1） g=(177。)mS2（2） e=(177。)1019C（3） me=(177。)1032kg（4） η=(177。)PaS以毫米為單位表示下列各測(cè)量值：= mm= mm= mm根據(jù)可疑數(shù)字保留一位（最多兩位）的原則，將下列測(cè)量值寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。（1） f=(177。)cm（2） M=(618600177。600)g（3） R=4011Ω , ΔR/R=1%試求下列間接測(cè)量值的不確定度和相對(duì)不確定度，并把結(jié)果寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。（1） X=A－B，其中A=（177。）cm，B=（177。）cm。（2） 其中，U=(177。)v , I=(177。)mA。（3） S=LH, 其中，L=(177。)cm , H=(177。)cm用物理天平稱得100顆同樣規(guī)格的鉛粒，質(zhì)量為m=(177。)，計(jì)算其不確定度，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)形式表示。用簡(jiǎn)算法則計(jì)算下列各式：（1）+= （2）－=（3）545=（4）（5）寫出下列間接測(cè)量量的不確定度傳遞公式。（1）（2）（3） 實(shí)驗(yàn)測(cè)得鉛球的直徑d=(177。)cm,質(zhì)量m=(177。)，計(jì)算不確定度，用標(biāo)準(zhǔn)形式寫出ρ的結(jié)果。２８