等邊三角形的判定與性質(zhì)難題-資料下載頁
2025-08-05 10:46本頁面
【正文】 2E2F2D2=E2F2（4分）∴D2E2=E2F2=F2D2∴△D2E2F2為等邊三角形；（5分）②；（6分）S′2=S﹣S3=S（7分）（2）由（1）可知：△DnEnFn等邊三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S，…；（9分）S2′=S，S3′=…．（10分）點評：本題考查了等邊三角形等性質(zhì)，和等邊三角形等判斷，以及內(nèi)接等邊三角形的面積規(guī)律． 8．（2009?莆田）已知：等邊△ABC的邊長為a．探究（1）：如圖1，過等邊△ABC的頂點A、B、C依次作AB、BC、CA的垂線圍成△MNG，求證：△MNG是等邊三角形且MN=a；探究（2）：在等邊△ABC內(nèi)取一點O，過點O分別作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分別為點D、E、F．①如圖2，若點O是△ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個正確結論（不必證明）：結論1． OD+OE+OF=a；結論2． AD+BE+CF=a；②如圖3，若點O是等邊△ABC內(nèi)任意一點，則上述結論1，2是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由．考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）本題中△ABC為等邊三角形，AB=BC=a，∠ABC=60176。，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，這樣就能證得MN=a；（2）判定①是否成立可通過構建直角三角形，把所求的線段都轉化到直角三角形中進行求解；判斷②是否成立，也要通過構建直角三角形，可根據(jù)勾股定理，把所求的線段都表示出來，然后經(jīng)過化簡得出結論②是否正確．解答：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60176。．∵BC⊥MN，BA⊥MG，∴∠CBM=∠BAM=90176。．∴∠ABM=90176。﹣∠ABC=30176。．∴∠M=90176。﹣∠ABM=60176。．同理：∠N=∠G=60176。．∴△MNG為等邊三角形．在Rt△ABM中，BM=a，在Rt△BCN中，BN=a，∴MN=BM+BN=a．（2）②：結論1成立．證明：如圖3，過點O作GH∥BC，分別交AB、AC于點G、H，過點H作HM⊥BC于點M，∴∠DGO=∠B=60176。，∠OHF=∠C=60176。，∴△AGH是等邊三角形，∴GH=AH．∵OE⊥BC，∴OE∥HM，∴四邊形OEMH是矩形，∴HM=OE．在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60176。=OG，在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60176。=OH，在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60176。=HC，∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH=（GH+HC）=AC=a．（2）②：結論2成立．證明：如圖4，連接OA、OB、OC，根據(jù)勾股定理得：BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD?a+AD2+a2﹣2BE?a+BE2+a2﹣2CF?a+CF2整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2∴AD+BE+CF=a．點評：本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，由于知識點比較多，本題的難度比較大．
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