【正文】 （2）求勢(shì)能的平均值： 。 18. 解：（1）求最可幾半徑： 電子在半徑為的球面上的幾率為： ，由 ，則求得最可幾半徑為： 。 （2）動(dòng)能平均值： 。 19. 解： 可見(jiàn)動(dòng)量能取3個(gè)值，依次是：，0， 出現(xiàn)的幾率分別是 ， ， 。 動(dòng)量的平均值： 。 20. 解：設(shè)為的本征態(tài)，滿(mǎn)足本征方程 ＝ 。 ， 在的本征態(tài)中，0。 所以 。 21. 解：角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量的本征值為： 和。 則 , 設(shè)的共同本征態(tài)為，則 ，所以 。 2. 解：（1）在表象中，算符的矩陣是對(duì)角化的，對(duì)角元素就是本征值。 因?yàn)?，故的本征值為，因而是一個(gè)對(duì)角元素為和的二階對(duì)角矩陣，即 。 設(shè)＝ ，由 ，所以 + ， 所以 ，于是＝ 。 又 ，即， 所以 ，于是＝ 。 又因是厄米的，即 ，即＝ ， 由此得，一般選取 。于是，得到算符在表象中矩陣表示為 。 假設(shè)在表象中，的本征值為，本征函數(shù)為 ， 那么＝ ，求解可得。 當(dāng)＝時(shí)，有 ， ，利用歸一化條件，得 ，于是于是 ；當(dāng)＝時(shí)，同理可得： 。 （2）從所給和的條件看，和處于完全對(duì)稱(chēng)的地位，所以在上問(wèn)中將和交換即可：在表象中，的矩陣形式為 ，的矩陣形式為 ，的本征值為，所屬的本征函數(shù)分別為和。 23. 解：（1）由 ，右乘，＝＝ ， 作用在上， 有 ＝＝＝， 所以 。 （2）由 ，右乘，＝＝ ， 作用在上， 有 ＝＝＝， 所以 。 24. 解：平面轉(zhuǎn)子的能級(jí)及波函數(shù)分別為 ， 。 加進(jìn)外電場(chǎng)，微擾能量為 。 微擾矩陣元為 ＝ 。 可見(jiàn)的躍遷是被禁止的，即在加外場(chǎng)后，只考慮二級(jí)微擾的情況下，能級(jí)簡(jiǎn)并是被消除的，所以我們用非簡(jiǎn)并能級(jí)的微擾公式。 從上面已經(jīng)看出，所以能級(jí)的一級(jí)修正都為零，即 。 對(duì)于第個(gè)能級(jí)，能量的二級(jí)修正為 具體求解得： 。 考慮到一級(jí)修正，二級(jí)修正，可直接寫(xiě)出第能級(jí)的準(zhǔn)確到二級(jí)近似的表達(dá)式 。 25. =+=可見(jiàn) 。 微擾哈密頓的矩陣元為 ＝ ，＝ 。 代入能量的二級(jí)近似公式 ， 則 ， 。 26. 解： 。 。 。 27. 解： 。 。 。 28. 解：系統(tǒng)的哈密頓可寫(xiě)作： ＝ ， 令 ，在新的坐標(biāo)下，關(guān)于的能量本征方程為 這一方程所決定的能級(jí)為 ＝ ， 即 ， 。 29. 解：（1）微擾理論求解：哈密頓為： ， ， （設(shè)為負(fù)電荷） 的本征函數(shù)和本征值（能量）分別為： , , 。 ， 。 按公式，能級(jí)的一級(jí)修正為 ＝ ＝＝ 。用到厄米多項(xiàng)式的正交性和遞推公式 ，及 ，則得到 ， 即各能級(jí)的一級(jí)微擾均為零。 下面計(jì)算二級(jí)修正值：＝ ＝＝ 。那么：＝ 。 所以，用微擾法所計(jì)算的帶電振子的能級(jí)二級(jí)近似值為 。 （2）精確求解： （設(shè)為負(fù)電荷） 。 因此，用精確法所計(jì)算的帶電振子的能級(jí)為 。30. 解：（1）能量的一級(jí)修正，按公式 ＝ ＝＝ 。即能量的一級(jí)修正為。 （2）波函數(shù)的一級(jí)修正按公式為 ， 其中 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 所以波函數(shù)的一級(jí)修正為： ， 當(dāng)及為偶數(shù)時(shí)， 。 31. 解：寬為的一維無(wú)限深勢(shì)阱中，質(zhì)量為的粒子的能級(jí)為，其波函數(shù)為 ， 能級(jí)的一級(jí)修正為： ＝ 。 可見(jiàn)能量的一級(jí)修正與無(wú)關(guān)，即任何能級(jí)都有相同的一級(jí)修正值。 波函數(shù)為： 。 其一級(jí)修正為 。 微擾的矩陣元 ＝ 。 所以，波函數(shù)的一級(jí)修正為： ＝ 。 32. 解： 。 在的表象中， ； ① 設(shè) ，根據(jù)厄密算符的定義，可知、必為實(shí)數(shù)，即 。 ② 將①，②兩式代入 中，得 。 由此得 ，則 。 再由得。取，于是有 。 那么 。 33. 解： 。 在的表象中， ； ① 設(shè) ，根據(jù)厄密算符的定義，可知、必為實(shí)數(shù)，即 。 ② 將①，②兩式代入 中，得 。 由此得 ，則 。 再由得。取，于是有 。 ③ 又因?yàn)? 34. 解： ，設(shè)的本征方程為 ＝ ， 有 ， ① 解得： 。 當(dāng)時(shí)，由方程①知 。再由本征矢的歸一化條件 ，得 。 即得的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 當(dāng)時(shí)， ，的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 35. 解： ，設(shè)的本征方程為 ＝ ， 有 ， ① 解得： 。 當(dāng)時(shí)，由方程①知 。再由本征矢的歸一化條件 ，得 。 即得的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 當(dāng)時(shí)， ，的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。 36. 解： 。 設(shè)的本征值為，對(duì)應(yīng)本征矢為 ， 則本征方程為 ＝ 。 ① ，有非零解的條件是 解得： 。即，的本征值為。 由①式可知， ，當(dāng)時(shí)，有 ，所以 ，由的歸一化可得： ＝ ，得 。所以 。 同理，當(dāng)時(shí)，可得： 。 37. 解：上題所表示的狀態(tài)，是的本征態(tài)，本征值是，但它們不是的本征態(tài)，所以分別以不同的幾率取和。根據(jù)態(tài)疊加原理，將按的本征態(tài)展開(kāi)， +， 所以，在狀態(tài)中，取的幾率為：； 取的幾率為：。 ＝ 。 38. 解： 。 。 ：玻色子體系的總波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的。這種對(duì)稱(chēng)波函數(shù)是由所有可能的單粒子態(tài)波函數(shù)乘積組合而成，為了方便地寫(xiě)出波函數(shù)，我們列一個(gè)填充單態(tài)的表： 單態(tài)符號(hào)填充方式IIIIIIIV 波函數(shù)為 ， ++， ++， 。 40．解：： 粒子數(shù)，單粒子態(tài)為：,由統(tǒng)計(jì)學(xué)知，狀態(tài)數(shù)，或畫(huà)圖示意。：（1），一個(gè)態(tài)，（2），這種情況共6個(gè)態(tài)，寫(xiě)出第一個(gè)波函數(shù)，其它可同理寫(xiě)出， ；（3），共三種情況，寫(xiě)出第一個(gè)波函數(shù)。