量子力學(xué)思考題及解答-資料下載頁
2025-03-26 04:46本頁面
【正文】 ，其出發(fā)點(diǎn)是定態(tài)薛定諤方程。量子躍遷是考慮體系在微擾作用下，波函數(shù)隨時(shí)間的變化問題，是依據(jù)含時(shí)薛定諤方程具體計(jì)算量子態(tài)之間的躍遷幾率問題。一般說來，這兩類問題都需要運(yùn)用近似方法求解。2自旋可在坐標(biāo)空間中表示嗎？它與軌道角動(dòng)量性質(zhì)上有何差異？解答：（1）自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，它不能在坐標(biāo)空間中表示出來。（2）軌道角動(dòng)量是微觀粒子的外部空間角動(dòng)量，它可在坐標(biāo)表象中表示出來，量子數(shù)為整數(shù)，本征態(tài)為球諧函數(shù)；自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，量子數(shù)為整數(shù)或半奇整數(shù)，自旋函數(shù)需用多分量波函數(shù)表示。此外，二者的旋磁比不同。2電子的本征態(tài)常被寫為，；它們的含義是什么？解答：的本征態(tài)是自旋波函數(shù)的特例。由于在的本征態(tài)中，本征值僅有與量子數(shù)對(duì)應(yīng)，分別記為，；是電子的兩個(gè)線性獨(dú)立的自旋態(tài)，組成一組正交完備基矢，以此為基矢的表象為表象。任一自旋態(tài)在表象中可展開為。對(duì)于自旋為1/2的粒子，是否存在態(tài)，在其中？解答：首先令在態(tài)中， 設(shè)，得； 再由 由于無法同時(shí)滿足，所以，對(duì)于自旋為1/2的粒子，使態(tài)是不存在的。3微觀粒子的全同性原理表述為：“全同粒子體系中，體系的物理狀態(tài)不因交換任意兩個(gè)粒子而改變”。問：（1）“物理狀態(tài)”是指宏觀態(tài)還是微觀態(tài)？（2）“交換任意兩個(gè)粒子”的準(zhǔn)確含義是什么？（3）它與全同粒子的不可區(qū)分性有什么聯(lián)系？解答：（1）物理狀態(tài)不變是指體系的微觀態(tài)和宏觀態(tài)都不因全同粒子間的交換而改變，全同性原理中強(qiáng)調(diào)的是微觀態(tài)（量子態(tài)）的不變；（2）交換任意兩個(gè)粒子是指在描述全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)中交換兩個(gè)粒子的包括自旋在內(nèi)的全部坐標(biāo)；（3）實(shí)質(zhì)相同。所以，全同性原理往往也被稱為不可區(qū)分（分辨）原理。1 何謂定態(tài)? 它有何特征？定態(tài)就是概率密度和概率流密度不隨時(shí)間而變化的狀態(tài)。若勢場恒定 （即不含時(shí)），則體系可以處于定態(tài)。定態(tài)具有以下特征:（1）定態(tài)波函數(shù)時(shí)空坐標(biāo)可以分離， ，其中 是哈密頓量 的本征函數(shù)，而 為相應(yīng)的本征值；（2）不顯含時(shí)間 的任何力學(xué)量，對(duì)于定態(tài)的平均值不隨時(shí)間而變化，各種可能值出現(xiàn)的概率分布也不隨時(shí)間而變化。注意，通常用 表示定態(tài)只是一種簡寫，定態(tài)是含時(shí)態(tài)，任何描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)都是含時(shí)的。什么是束縛態(tài)？它有何特征？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？舉例說明。束縛態(tài)：當(dāng)粒子被勢場約束在特定的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即在無限遠(yuǎn)處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。 束縛態(tài)的能級(jí)是分立的。例如，一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化的能級(jí)。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)，例如限制在一維盒子中的粒子，最一般的可能態(tài)是一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包，這種疊加態(tài)是沒有確定能量的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，但定態(tài)也可能有非束縛態(tài)，例如在散射中，粒子并不局限于有限區(qū)域，但粒子處于能量本征態(tài)，這時(shí)粒子處于非束縛態(tài)，或者說粒子處于散射定態(tài)（簡稱為散射態(tài)）。 （1）任意定態(tài)的疊加一定是定態(tài)。理由如下：定態(tài)的線性疊加 態(tài)中平均值 與 無關(guān)，所以疊加態(tài) 是定態(tài)。（2）體系的哈密頓量不顯含時(shí)間時(shí)，波動(dòng)方程的解都是定態(tài)解。以上說法正確嗎？解答：（1）能量不同的定態(tài)的疊加態(tài) 中，不具有確定的能量值，盡管 與 無關(guān)，但位置概率密度 依賴于時(shí)間 ，這表明任意定態(tài)的疊加不再具有定態(tài)的特征，是非定態(tài)。 （2）由于波動(dòng)方程是線性的，體系中不同定態(tài)疊加而成的非定態(tài) 仍是波動(dòng)方程的解。因此，只能說定態(tài)解（ 不顯含時(shí)間 ）是體系含時(shí)波動(dòng)方程 的解，但不能說該體系的含時(shí)波動(dòng)方程的解都是定態(tài)解。由此可以看出，由于定態(tài)是能量的本征態(tài)，本征值方程 中明顯出現(xiàn) ，體系中不同能量的本征態(tài)的線性疊加不可能再是原本征方程的解，而這種疊加態(tài)正是實(shí)際存在的最一般的可能態(tài)。
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