量子力學(xué)的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備-資料下載頁
2025-07-24 03:10本頁面
【正文】 意味著這樣一個事實，三維幾何空間中的任意一個矢量可寫成一組完備正交基(或)的線性組合。兩個矢量和的內(nèi)積(點乘)等于在同一完備基下兩矢量對應(yīng)分量的乘積和，即此處可以是復(fù)函數(shù)，不是復(fù)變函數(shù)，而是實變復(fù)函數(shù)，即變量為實數(shù)，而函數(shù)值為復(fù)數(shù)或二、從Fourier變換看完備函數(shù)系我們在數(shù)理方法中知道，對任一在上有定義的函數(shù)可作Fourier變換：，其中，積分的本質(zhì)就是求和我們可以換一個角度來看Fourier變換，選擇一系列函數(shù)[k取遍中的所有值]，任一函數(shù)可寫成這一函數(shù)系列的線性組合。如果任一函數(shù)可寫為某一函數(shù)系列的線性組合，則該函數(shù)系列為完備函數(shù)系，簡稱完備系。比如我們這里的函數(shù)系列就是完備系。三、函數(shù)空間三維幾何空間實際上是所有三維矢量作為其元素的一個集合。對于三維幾何空間，當(dāng)選定一組完備系 (比如，它們當(dāng)然也是該集合中的元素)后，任意矢量可寫為，其中分別是在方向上的分量。其中一個要取復(fù)數(shù)共軛對照來看，所有定義在上的復(fù)函數(shù)的集合，也構(gòu)成一個空間，稱為函數(shù)空間，也叫希爾伯特空間。當(dāng)選定函數(shù)系列作為完備系時，任意函數(shù)，是在基上的分量。從這個意義上講，一個函數(shù)就是函數(shù)空間中的一個矢量。既然是一個矢量，也可以形式上寫成矩陣：，只不過此處標(biāo)記行的指標(biāo)k有無限多個取值而且是連續(xù)的。希爾伯特空間中的兩個矢量和的內(nèi)積也等于兩個對應(yīng)分量乘積的和，即。當(dāng)然我們并不一定要選函數(shù)系列作為希爾伯特空間的完備系，也可以選另外一套完備系，比如。此處是基函數(shù)的變量，而是不同基函數(shù)的標(biāo)記。根據(jù)δ函數(shù)的性質(zhì)，可以看出函數(shù)值就是矢量在基上的分量。此時，作為希爾伯特空間中的矢量也可以形式上寫成矩陣：。兩個矢量和的內(nèi)積也可以寫成兩個對應(yīng)分量的乘積和(當(dāng)然其中一個要取復(fù)數(shù)共軛)。由于積分變量的替換不改變積分的值，和的內(nèi)積可寫為。在三維幾何空間中，兩矢量的內(nèi)積不依賴于坐標(biāo)系的選取，不管取直角坐標(biāo)還是求坐標(biāo)，計算出的兩個矢量和的內(nèi)積都是相同的。那么在希爾伯特空間中，取不同的函數(shù)系或作為完備系，計算得到的和的內(nèi)積理應(yīng)相等，即。下面證明這個結(jié)論：由Fourier變換知，此積分為δ函數(shù)交換積分次序。在量子力學(xué)中我們還會遇到很多其它不同的完備系。VII. 矩陣及其特征向量和特征值 復(fù)習(xí)矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、正交矩陣、相似變換等。 復(fù)習(xí)方陣的特征值和特征向量的計算方法。13
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