量子力學思考題及解答-在線瀏覽
2025-05-13 04:46本頁面
【正文】 從力學量的平均值的表示式出發(fā)，說明引入算符的必要性。我們可先在動量表象中求出動量平均值，然后再轉換到坐標表象中去。實際上，任何一個力學量在非自身表象中計算平均值時，都與相應的算符相當，自然會引入算符表示力學量的概念。我們知道，在量子力學中，力學量之間的關系從其數(shù)值是否能同時確定來考慮，有相互對易與不對易兩種，而經(jīng)典力學量之間都是對易的，因此經(jīng)典力學量的表示方法不能適用于量子力學，然而數(shù)學運算中算符與算符之間一般并不滿足交換律，也就是存在不對易情況，因此用算符表示力學量是適當?shù)?。力學量之間的對易關系有何物理意義？解答：力學量之間的對易關系，是量子力學中極為重要的關系。對易關系表明，經(jīng)典因果性不是普遍成立的，并指出各類力學量能夠同時確定的條件（相互對易），體現(xiàn)了量子力學的基本特點。從純理論的角度說，它也可以作為量子力學的基本出發(fā)點。什么是力學量的完全集？它有何特征？解答：設有一組彼此獨立而又相互對易的力學量（），它們的共同本征函數(shù)系為，如果給定一組量子數(shù)就可以確定體系的一個可能態(tài)，那么，就稱（）為體系的一個力學量完全集。何謂定態(tài)? 它有何特征？解答：定態(tài)就是概率密度和概率流密度不隨時間而變化的狀態(tài)。定態(tài)具有以下特征:（1）定態(tài)波函數(shù)時空坐標可以分離，其中是哈密頓量的本征函數(shù)，而為相應的本征值；（2）不顯含時間的任何力學量，對于定態(tài)的平均值不隨時間而變化，各種可能值出現(xiàn)的概率分布也不隨時間而變化。1（1）任意定態(tài)的疊加一定是定態(tài)。（2）體系的哈密頓量不顯含時間時，波動方程的解都是定態(tài)解。 （2）由于波動方程是線性的，體系中不同定態(tài)疊加而成的非定態(tài)仍是波動方程的解。由此可以看出，由于定態(tài)是能量的本征態(tài)，本征值方程中明顯出現(xiàn)，體系中不同能量的本征態(tài)的線性疊加不可能再是原本征方程的解，而這種疊加態(tài)正是實際存在的最一般的可能態(tài)。解答：當粒子被勢場約束在特定的區(qū)域內運動，即在無限遠處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。例如，一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化的能級。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，但定態(tài)也可能有非束縛態(tài)，例如在散射中，粒子并不局限于有限區(qū)域，但粒子處于能量本征態(tài)，這時粒子處于非束縛態(tài)，或者說粒子處于散射定態(tài)（簡稱為散射態(tài)）。我們可以認為，物質兼具粒子性和波動性，但確切地說，它們既不是經(jīng)典波，也不是經(jīng)典粒子，經(jīng)典物理中粒子和波的概念只有經(jīng)過修正才能被量子理論借用，不確定性關系就反映了這種修正，它給出了這兩個概念能夠被有效借用的限度，如給出了用粒子圖像描述物質的局限性。解答: 矩陣表示一般用于本征值為分立譜的表象（相應希爾伯特空間的維數(shù)是可數(shù)的）。任意態(tài)矢可展開為態(tài)矢在表象的表示為展開系數(shù)組成的一列矩陣 其意義是：在態(tài)中，力學量取值的幾率為，與坐標表象波函數(shù)的意義相類似。 用矩陣表示力學量，理由如下： （1）可以反映力學量作用一個量子態(tài)而得到另一個量子態(tài)的事實。1算符（力學量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?解答：力學量本征值是分立譜時，它在其自身表象中的表示是對角化的，對角元素就是它的本征值 本征矢為單一元素列矩陣 ………1設，分別在坐標和動量表象中寫出的矩陣元。解答：坐標表象與動量表象是一對共軛表象，表示形式十分類似 表象 表象 ： ：
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