【正文】 定義為：的轉(zhuǎn)置算符算符???????? ?? ? *?~?*~??UdUdUUABBA~?~?)??( ?可以證明： 轉(zhuǎn)置算符 xx ???? ??~1：例?? ??? ?? ?? xdx ~*證：利用波函數(shù)標準條件 :當 |x|→∞ 時 ψ, ?→ 0 。 之厄密共軛算符 212。 194。+ 212。 194。...)+ = ... 219。 + 212。即若 212。 , 219。 則 (212。)+ = 212。+ = (212。) 性質(zhì) II: 兩個厄密算符之積一般不是厄密算符 , 除非二算符對易。 219。+ 212。 212。 219。 , 219。 219。 219。 例：證明坐標和動量算符是厄米算符，以一維為例。 上 式 (2) 稱為 算 符 的 本 征 值 方 程 ?！?　 舉 例 ： 無 限 深 勢 阱 ， 一 維 線 形 諧 振 子 。 算符對應(yīng)的本征值應(yīng)該是實數(shù)。當體系處于動量算符的本征態(tài) 時，動量有確定值，這個值即 在 態(tài)中的本征值。 因為所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)，而表示力學(xué)量的算符的本征值就是測量此力學(xué)量的可能值，所以，表示力學(xué)量算符的本征值必須為實數(shù)。 2224dxdx ? ?2 ??nK 1“偉大的數(shù)學(xué)家已經(jīng)針對人類思想作出了 甚至比文學(xué)家還更加不朽的貢獻， 因為它與語言無關(guān)?！? 希爾伯特 （一）動量算符 （ 1）動量算符的厄密性 （ 2）動量本征方程 （ 3）箱歸一化 （二）角動量算符 （ 1）角動量算符的形式 （ 2）角動量本征方程 （ 3）角動量算符的對易關(guān)系 （ 4）角動量升降階算符 167。 II. 歸一化系數(shù)的確定 （ 3）箱歸一化 據(jù)上所述，具有連續(xù)譜的本征函數(shù)如 :動量的本征函數(shù)是不能歸一化為一的，而只能歸一化為 δ 函數(shù)。 x y z A A’ o L 在箱子邊界的對應(yīng)點 A, A’ 上加上其波函數(shù)相等的條件，此邊界條件稱為周期性邊界條件。 ???,2,1,0,22?????zyzzyynnLnpLnp??同理：????????? zyLrA ,2? ??????? zyLrA ,2?][222)()(zyxnnnprppLznLynLxnizyxicercer????????????????????????1* 322/2/22/2/??? ? ? ?? ? ???LcdcdLLppLL???? ??rpVrpLnnniizyxee ???? ?? ?? ?? 12/31 )(?確定歸一化系數(shù) c ： 所以 c = L3/2 波函數(shù) 討論： （ 1）由 px = 2nx ?? / L, py = 2ny ?? / L, pz = 2nz ?? / L,可以看出，相鄰兩本征值的間隔 ? p = 2 ?? / L 與 L 成反比。 （ 2）從這里可以看出，只有分立譜才能歸一化為一，連續(xù)譜歸一化為 ? 函數(shù) （ 3） ?p(r) exp[–iEt/?] 就是自由粒子波函數(shù)，在它所描寫的狀態(tài)中，粒子動量有確定值，該確定值就是動量算符在這個態(tài)中的本征值。和其中厄密性要求，按??????? ?? ?? dLdLL zzz *)?(?*???? ? didL z ???????? ?? )(*?* 20?討論： 厄密性要求第一項為零 ???? dii ?????????? ? *)(|* 2020 ?????? dii ????????? ? *)(|* 2020 ????? dLi z ??????? ? *)?(|* 2020?常數(shù)。 此方程球諧函數(shù)方程，其求解 方法在數(shù)學(xué)物理方法 中已有詳細 的講述。 對應(yīng)一個 ? 值， m 取值為 0, 177。 2, 177。 ? 共 (2 ? +1)個值。 換言之，對應(yīng)一個 ?值有 (2 ? +1)個量子狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為簡并， ? 的簡并度是 (2 ? +1) 度。 ???????????yxyxLiLLLiLL??????性質(zhì)： zzzzLLLLLLLLLLLLLLLL??????????????0]?,?[2222222????????????????????????????????LLiLLiiLiLLiLLLiLLLLyxxyyzxzyxzz?)??()?(?]?,?[]?,?[]??,?[]?,?[????可證： )?(??? ??? ?? zz LLLL(II) 對易關(guān)系 lmlmlmYLllYLLYLL???????)1(????222?1,1,)1)(()1()1(???????????mlmllmYmlmlYmmllYL???lmlmzlmzYLmYLLYLL????????)1()?(?????(III) 證明： 將 Eq. (1) 作用于 Yl m 得： 將 Eq. (2) 作用于 Yl m 得： ????????????????????????)4(?????)3(?????)2(????)1()?(???222222zzzzzzLLLLLLLLLLLLLLLLLL???由于相應(yīng)于這些本征值的本征函數(shù)是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 與 Yl, m+1 二者僅差一個常數(shù)，即 1,? ?? ? mllmlm YaYL 1,? ?? ? mllmlm YbYL同理22*2222222*)1()1(])1([)???(?????????????????????mmlldYYmmlldYLLLYlmlmlmzzlm求 : 常系數(shù) al m, bl m 21,1,2**||*||?*)?(????lmmlmllmlmlmlmlmlmlmadYYadYLYLdYLLYdYLLY?????????????????????首先對 式左邊 積分 并注意 L = L++ 再計算 式右積分 ????????????????????????)4(?????)3(?????)2(????)1()?(???222222zzzzzzLLLLLLLLLLLLLLLLLL?????????????dYLLLYdYLLYlmzzlmlmlm]???[??22**?)1()1()1()1()]1()1([|| 22????????????mmllbmmllammllalmlmlm???同理求得：為簡單計取實數(shù)：1,1, )1)(()1()1(? ??? ??????? mlmllm YmlmlYmmllYL ???比較二式 由（ 4）式 例：證明在 LZ 本征態(tài) Ylm 下， Lx = Ly = 0 證： 方法 I ? ???? dYLYL lmxlmx ?*]??[21?]??[21? ???? ???? LLiLLLL yx代入平均值公式： ? ????? ?? dYLLYL lmlmx ]??[21 * ?? ???? ?? dYLYdYLY lmlmlmlm ?21?21 **???????????????dYYmmlldYYmmlllmlmlmlm1*1*)1()1(2)1()1(2??0?同理： 0??? yL由角動量對易關(guān)系： ? ? ? ? ]????[1?,?1???,? yzzyzyxxzy LLLLiLLiLLiLL ????? ???代入平均值公式： ? ????? dYLLLLYiL lmyzzylmx ]????[1 *??? ???? dYLLYidYLLYi lmyzlmlmzylm ??1??1 ** ???? ???? dYLYLidYLLYi lmylmzlmzylm ?)?(1)?(?1 ** ???? ???? dYLYmidYLYmi lmylmlmylm ?1?1 ** ????0??????? yy LimLim 同理： 0??? yL方法 II 返回 167。dinger 方程 （二）求解 Schrodinger 方程 （三）使用標準條件定解 （四）歸一化系數(shù) （五）總結(jié) 返回 ?????????? ErZerrrr ???????? ????????????? 2222222 s i n 1)( s i ns i n1)()1(2?體系 Hamilton 量 rZeH 2222? ??????H的本征方程 ??? ErZe ??????? ???2222?對于勢能只與 r 有關(guān)而與 θ, ? 無關(guān)的有心力場，使用球坐標求 解較為方便。取核在坐標原點， 電子受核電的吸引勢能為： ? r?x z 球 坐 標 r ? y ?????? ????????? 22222s i n1)( s i ns i n1????????L此式使用了角動量平方 算符 L2 的表達式： （一）有心力場下的 Schrodinger 方程 （二）求解 Schrodinger 方程 （ 1）分離變量 化簡方程 ψ(r,θ, ?) = R(r) Ylm(θ,?) 令 ERRrZerllrrrr ??????? ????????2222222)1()(2 ????注意到 L2 Ylm =?(?+1) ?2 Ylm 則方程化為： 令 R(r) = u(r) / r 代入上式得： 0)1(2 22222 ??????? ?????????? ?? urllrZeEdrud??rZerllrV 2222)1()( ?????若令 0)]([2 222??? urVEdr ud ? ?0)1(||22 222222??????? ???? urllErZedr ud ?? ?????? ErZerLrrrr ??????? ??????? 222222 2 ?)(2 ?),()(),()(2 ?)(2 222222 ?????? lmlm YrERYrRrZerLrrrr ??????? ??????? ?討論 E 0 情況，方程可改寫如下： 于是化成了一維問題，勢 V(r)稱為等效勢，它由離心勢和庫侖勢兩部分組成。= 0 ? ? ?2 0)]([)]1()1)([()]1()1([011220?????????????????????????????????????sssbsbllssbllss(II) 求級數(shù)解 令 0)( 00?? ???? bbf s??? ??為了保證有限性條件要求： 當 r → 0 時 R = u / r → 有限成立 ?????100sb即 0)]([)]1()1)([(0102 ????????? ?? ?????????????? ?????? ss bsbllss0)()1()()( 2 ??????? ??????? ?????? fllff代入方程 令 ν39。改用 ν 后與第二項合并， 代回上式得： 0]})()]1())(1{[()]1()1([01120 ????????????? ??????????? ??????ss bsbllssbllss102/2/)(???????????????