【正文】 是一個(gè)特殊的光學(xué)現(xiàn)象，而是具有普遍的意義。 ?? mhPh ???hP?de Brolie波：實(shí)物粒子具有的波，或稱物質(zhì)波。 通過(guò)布拉格公式即可算出電子波的波長(zhǎng) λ。這表明，動(dòng)量為 P的自由電子的衍射行為與波長(zhǎng)為 λ 的平面波的衍射行為相同。 hP第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、測(cè)不準(zhǔn)原理 1. 內(nèi)容： 2. 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式 微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)具有確定值的。 ：波動(dòng)性粒子在 x， y， z方向坐標(biāo)和動(dòng)量的不確定程度 的乘積關(guān)系 以 Δx和 ΔPx分別表示 微觀粒子的橫坐標(biāo)和動(dòng)量在橫坐標(biāo)方向上的分量的 測(cè)定值與平均值之差，則兩者之間的關(guān)系為： ????? yPy????? zPz同理： ????? xPx hPxx ????hPy y ????hPz z ????第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可用于檢驗(yàn)經(jīng)典力學(xué)適用程度 經(jīng)典場(chǎng)合： h是極小的數(shù)值，約為 0，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系不起作用， 波動(dòng)性不顯著。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 167。 例如：一個(gè) 2電子體系，粒子 1和粒子 2的坐標(biāo)分別為 (x1, y1, z1)和 (x2, y2, z2)， 則描述體系狀態(tài)的波函數(shù) Ψ=Ψ(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 1. 波函數(shù) 頻率為 ν， 波長(zhǎng)為 λ的沿著 x方向傳播的平面波可用下式表示 ( , ) 2 xx t A C o s t? ? ???????? ????????既然動(dòng)量為 P的自由電子的衍射行為與波長(zhǎng)為 的光的衍射行為相似，將 和 代入上式所得之波就可用來(lái)描述自由電子的行為： hPhP??Eh??? ?2( , )x t A C o s x P E th?? ???????? 這就是 de Brolie波或物質(zhì)波。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (1) 描述光或?qū)嵨锪Ｗ拥亩笮詴r(shí)，不同的性質(zhì)采用不同的函數(shù)： 描述粒子性的函數(shù)： E， P， ρ 描述波動(dòng)性的函數(shù)： hν ， h/λ ， |Ψ |2 |Ψ |2=|Ψ * Ψ|， Ψ = f + i g， Ψ *= f – i g Ψ的物理意義：在時(shí)間 t在坐標(biāo) x、 y、 z附近小體積元 dτ 內(nèi)找到粒子的 幾率與波函數(shù) Ψ(x， y， z， t)的絕對(duì)值的平方成正比。 (3) 幾率密度： 在時(shí)間 t及空間某點(diǎn) (x， y， z)單位體積內(nèi)出現(xiàn)粒子的幾率 d?2( , , , )( , , , ) ( , , , )d w x y z tw x y z t K x y z td ????w(x， y， z， t)稱為幾率密度 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. 歸一化波函數(shù) 將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)因子并不改變它所描述的狀態(tài) 。 對(duì)于單個(gè)粒子體系 ， 在整個(gè)空間找到粒子的幾率應(yīng)當(dāng)?shù)扔?1， 即 由此可以求得常數(shù) K 22( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1w x y z t d K x y z t d K x y z t d? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?21( , , , )Kx y z t d????? 歸一化關(guān)系式 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) Ψ乘以 而得到 Φ的過(guò)程稱為歸一化。 K歸一化波函數(shù) 歸一化常數(shù) Φ絕對(duì)值平方等于幾率密度 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 4. 波函數(shù)的性質(zhì)和必須滿足的標(biāo)準(zhǔn)化條件 (1) Ψ(x， y， z， t)是微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其自身的物理意義不明顯，但其平方則代表幾率密度； (2) KΨ(x， y， z， t)并不改變 Ψ所描述的狀態(tài)，即與 Ψ所描述狀態(tài)相同。 單值、連續(xù)、有限（平方可積） 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、力學(xué)量和算符 1. 算符： 假設(shè) Ⅱ ：對(duì)于微觀體系的每一個(gè)可觀測(cè)力學(xué)量都對(duì)應(yīng)著一個(gè) 線性厄米算符。 ttqq ?? ? ,? 若用 表示某一算符， 表示被施以運(yùn)算的對(duì)象，記為 ，稱為算符 作用于 。 解：因?yàn)閱蝹€(gè)粒子的能量等于動(dòng)能 T與勢(shì)能 V之和，按經(jīng)典力學(xué)： 2. 與坐標(biāo)相關(guān)聯(lián)的動(dòng)量的算符是 3. 對(duì)于任一力學(xué)量 M， 先按經(jīng)典方法將其表示成 q 、 P和 t的函數(shù) ， ， 然后再將相應(yīng)的算符代入便可得力學(xué)量 M的算符： ?Piii q??? ?( , , )M M q p t??M ( , , )M q i tq??? ??H? ?2221 ( , , )2 x y zE T V P P P V x y zm? ? ? ? ? ?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) ? ?2221 ( , , )2 x y zE T V P P P V x y zm? ? ? ? ? ?? ? ?P , P , Px y zi i ix y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 22 2 2 2 2 22 2 2? ? ?P , P , Px y zx y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 2 2 222 2 2?H ( , , )22V x y z Vmmx y z??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ????H能量算符 也稱為哈密頓算符。s i ns i n 。 若算符 作用在任意兩個(gè)函數(shù) 和 的代數(shù)和 [ + ]上的結(jié)果等于這一算符 分別作用在 和 上的代數(shù)和 + 上，即 ?A 2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux?A?A? ? )(A?)(A?)()(A? 22112211 xucxucxucxuc ???2. 線性算符 ddx x??算符 和 都是線性的， Sin, log 和 不是線性算符 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. 厄米算符（自軛算符） 如果算符 對(duì)于任意函數(shù) 下式成立 就稱算符 為厄米算符 ?A?? ?? ?AAdd? ? ? ? ? ??? ????A例 1：乘號(hào)“ ?”為厄米算符。 微觀體系中任何一個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符都是線性厄米算符 —— 量子力學(xué)基本假定之二。 ? ?)(B?A?)(C? xuxu ? B?A?C? ?? A?A?A? 2 ?。 ? ?B?,A?? ? ? ? 算符的對(duì)易關(guān)系式；—常數(shù)）(A?B?B?A?B?,A? c???? ? ? ? 可相互對(duì)易；則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? ? ? 不可相互對(duì)易則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? 0)(?)(?,? ????? ?ixuPxxxuPxP xxx例如： 所以 不能相互對(duì)易。dinger方程 1. 本征函數(shù)的正交性及歸一性 假設(shè) Ⅲ ：若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) Ψ后， 等于某一常數(shù) a 乘以 Ψ ，即 Ψ= aΨ ，那么對(duì)于 Ψ 所描述的這樣一個(gè)微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具 有確定的數(shù)值 a ， a 就稱為力學(xué)量算符 的本征值， Ψ稱為 的本征態(tài)或本征函數(shù)； Ψ= aΨ 稱為 的本征方程。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨ第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 本征函數(shù)正交性定理 Ⅰ ： 屬于同一厄米算符 的不同本征值 am和 an的本征函數(shù) Ψm和 Ψn彼此正交。而厄米算符的本征值一 定為實(shí)數(shù)。 A?A?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2. 本征函數(shù)的完備系列 A? Ψn1= aΨn1 A? Ψn2= aΨn2 A? Ψnf= aΨnf A? Ψn= aΨn， 其中 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+ cfΨnf 若： ，則函數(shù) Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。 nn n)( ΨaxΨ ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. Schr246。 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要用波函數(shù) Ψ(x， y， z， t)來(lái)描述，波函數(shù) Ψ(x， y，z， t)隨時(shí)間的變化要由 Schr246。描述定態(tài)的 Ψ(x， y， z， t)必定具有下列形式 ω—— 常數(shù)。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , )x y z t x y z t x y z x y z? ? ? ???? ? ?因此，定態(tài)粒子的狀態(tài)可用不顯含 t 的函數(shù) ψ (x， y， z)來(lái)描寫， ψ(x， y， z)—— 定態(tài)波函數(shù)，簡(jiǎn)稱波函數(shù)。dinger方程。 或 ),(),(H? zyxEzyx ?? ?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) Schr246。dinger方程不是推導(dǎo)而來(lái)，而是量子力學(xué)的一條基本假定。 (3) Laplace算符： 一維箱中粒子的 Schr246。dinger方程 2222222zyx ??????????? ? ? ? ? ?xExxVxm ?? ??????? ????222?? ? ? ? ? ?zyxEzyxzyxVzyxm ,2 222222 ?? ??????? ?????????????????? ?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (4) 定態(tài) Schr246。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 四、態(tài)疊加原理 假設(shè) Ⅳ ：體系屬于力學(xué)量 M的本征態(tài)的任意線性組合 也是體 系的一個(gè)可能狀態(tài) . Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c說(shuō)明 ： (1) ci大小反應(yīng) ψi對(duì) ψ的性質(zhì)的貢獻(xiàn)大小。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 1. 力學(xué)量平均值定理 * ?MMd? ? ?? ? ? ?體系任何狀態(tài)的波函數(shù) ψ中，任何力學(xué)量 M的平均值 M均可表示為： * * * * ***? ?M M = =i i j j i i j j ji j i ji j j i jijd C C d C C m dC C m d