【正文】 不可能由方程確定，它可以是任意的。事實上 不同取值只不過相當于改變一個相因子。 (0)nE (0)kE 0HH ???結(jié)果 試用微擾論求能級的變化，并與精確解比較。 此問題可以精確求解 ,以便兩者進行比較 . xexdxdH ???? ????22222212? ?2222222222212 ?????????eexdxd ????????? ???? ?222222222212 ??????exxdd ???????2???exx ???其中 由上可知體系仍是一個線性諧振子，每一個能級都比無電場時線諧振子相應能級低了 ， 換一句話講，平衡位置向右移動了 2222???e2222???e考慮能級二級修正與精確解相同 . 167。 所以在簡并情況下 ， 首先要解決的問題是如何選取 0 級近似波函數(shù)的問題 ， 然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正 。 （ 2）若 k個根有部分重根，則原來 k度簡并的能級在微擾作用下，能級部分分裂，簡并部分消除。 ?????kiilinli CEH1)0()1( 0)( ?)1(niE )0(iC )1(niE（ 二 ） 氫原子一級 Stark 效應 （ 1） Stark 效應 氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應。 但是當加入外電場后 ， 由于勢場對稱性受到破壞， 能級發(fā)生分裂 ， 簡并部分被消除 。 （ 2） 外電場下氫原子 Hamilton 量 ??????????????????????c o s?2????22200rezereHreHHHH???取外電場沿 z 正向 。 所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理 。 220022488 eaaeeEn ?? ?? ?????屬于該能級的 4個簡并態(tài)是： ?????????????????iararaiararaararaararaeeYReeYReYReYR??????????????????????s i n)()(s i n)()(c o s)()()2()(0000000000002/2/3181112112142/2/3181112121132/2/31241102121022/2/3124100202022（ 4） 求 H’ 在各態(tài)中的矩陣元 由簡并微擾理論知 ,求解久期方程 ,須先計算出微擾 Hamilton 量 H’ 在以上各態(tài)的矩陣元。 1條件又進一步排除了對角元。 當躍遷發(fā)生時 ， 原來的一條譜線就變成了 3 條譜線 。 )0(2E)0(1E?aeE 3)0(2 ??aeE 3)0(2 ?)0(2E)0(1E 無外電場時 在外電場中 （ 6） 求 0 級近似波函數(shù) 分別將 E2(1) 的 4 個值代入方程組： kcEH nk?,2,10)( )1(1???????? ????????得 四 元一次線性方程組 ?????????????????????????????00000000000300034)1(23)1(22)1(210201)1(2cEcEcEcaecaecE??E2(1) = E21 (1) = 3eεa0 代入上面方程，得： ????? ?? ?? 04321cccc所以相應于能級 E2(0) + 3eεa0 的 0 級近似波函數(shù)是： ][][ 210202212121)0(1 ????? ???? E2(1) = E22(1) = 3eεa0 代入上面方程，得： ????? ??? 04321cccc所以相應于能級 E(0)2 3eεa0 的 0 級近似波函數(shù)是： ][][ 210202212121)0(1 ????? ????121421134433)0(4)0(3 )( ????? ?????? cccc因此相應與 E2(0) 的 0 級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成 ： E2(1) = E23(1) = E24(1) = 0 ，代入上面方程，得： ????? ??的常數(shù)為不同時等于和 004321cccc我們不妨仍取原來的 0級波函數(shù) ， 即令： ??????????????10014343ccorcc???????? 121)0(42 1 1)0(3????則微擾法求解問題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分 其中 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解 ，而 H’很小 。 這時我們可以采用另一種近似方法 —變分法 。 變分法 HHH ??? ??? 0設(shè)體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為： E0 E1 E2 ...... En ...... ψ 0 , ψ 1 ψ 2 ......... ψ n ...... （一）能量的平均值 為簡單計 ， 假定 H本征值是分立的 ， 本征函數(shù)組成正交歸一完備系 ， 設(shè) ψ 是任一歸一化的波函數(shù) ， 在此態(tài)中體系能量平均值： 0202* ECEECdHHEnnn ????? ?? ????這個不等式表明 ， 用任意波函數(shù) ψ 計算出的平均值 H 總是大于 （ 或等于 ） 體系基態(tài)的能量 ， 而僅當該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時 ， 平均值 H 才等于基態(tài)能量 ?？梢宰鳛榛芰康南孪?. （二）變分方法 上面我們已經(jīng)設(shè)波函數(shù)是歸一化的 ,若 ψ 未歸一化 ， 則 0*?*EddHH ??????????試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)系到計算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的知覺去猜測。 （三）如何選取試探波函數(shù) 167。 若定諤方程的解已求解得 )()(? rErH nnn ?? ?? ? ? ? nmmn d ???? * )3,2,1,( ??mn???nnn rtatr )()(),(?? ? 求 歸結(jié)為求上面的展開系數(shù) ),( tr??)(tan令 : 代入薛定諤方程得到 上式兩邊同時左乘 ，再積分得 ?? ?nnnnnnn rEtardttdai )()()()( ??? ??)(* rm ??? ??? ?nnmnnnmnn drEtaddttdai ?????? )(*)(*)( ???? ?nnmnnnmnn Etadttdai ?? )()(?mmm Etadttdai )()( ??此方程很容易積分 顯然積分常數(shù) 其中 初始時刻的展開系數(shù)，即 tEimmCeta ???)()0(maC ?)0(ma???n mmrar )()0()0,( ?? ? ? ?? ?? drra mm )0,()(*)0( ??總結(jié) : ??????????drrareatrnnnntEinn)0,()(*)0()()0(),(?????2. Hamilton 算符含有與時間有關(guān)的微擾 )(?)(? 0 tHHtH ??? 含時微擾理論可以通過 H0 的定態(tài)波函數(shù)近似地求出微擾存在情況下的波函數(shù)，從而可以計算無微擾體系在加入含時微擾后，體系由一個量子態(tài)到另一個量子態(tài)的躍遷幾率。 mmmta ??? ? )(t 時刻發(fā)現(xiàn)體系處于 ψ 態(tài) 發(fā)現(xiàn)體系處于 Φ m 態(tài)的幾率等于 |am(t)|2 所以在 時間內(nèi) ,體系在微擾作用下由初態(tài) Φ k 躍遷到末態(tài) Φ m 的幾率在一級近似下為： 二 . 躍遷幾率 設(shè) t=0 時體系處于 H0 某一本征態(tài) Φk， 202)1( 1|)(| dteHitaWtimktmmk mk???? ?? ?t?0167。 （ 2） 一級微擾近似 am(1) dteHita timktm mk??? ?0)1( 1)( ? dteiH titmk mk????0?? ?1???? timkmk mkeH ???? ?2/2/2/ tititimkmk mkmkmk eeeH ??????????)s i n (2 212/ tieHmktimkmk mk ???????? ? ttimkmk mkeiiH01 ?????H’ mk 與 t 無關(guān) (0 ? t ? t1) （ 3） 躍遷幾率和躍遷速率 2)1( |)(| taW mmk ??2212/ )s i n (2 tieHmktimkmk mk ???????222122 )(s i n||4mkmkmk tH?????數(shù)學公式： )()(s i n22l i m xx x ??? ?????則當 t →∞ 時