【正文】 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、力學(xué)量和算符 1. 算符： 假設(shè) Ⅱ ：對(duì)于微觀體系的每一個(gè)可觀測(cè)力學(xué)量都對(duì)應(yīng)著一個(gè) 線性厄米算符。dinger方程 1. 本征函數(shù)的正交性及歸一性 假設(shè) Ⅲ ：若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) Ψ后， 等于某一常數(shù) a 乘以 Ψ ，即 Ψ= aΨ ，那么對(duì)于 Ψ 所描述的這樣一個(gè)微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具 有確定的數(shù)值 a ， a 就稱為力學(xué)量算符 的本征值， Ψ稱為 的本征態(tài)或本征函數(shù)； Ψ= aΨ 稱為 的本征方程。dinger方程。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 五、 Pauli原理 1. 支持 Pauli原理的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 假設(shè) Ⅴ ：在同一原子軌道或分子軌道上，最多只能容納 2個(gè)電 子，且這 2個(gè)電子自旋狀態(tài)必須相反。dinger方程： 222() ()2dx Exm d x? ?? ? ?在一維箱外， x ≤ 0和 x ≥ a， V = ∞ ， 方程的解只能是 ψ(x)=0。 對(duì)應(yīng)的粒子狀態(tài)， ，稱為基態(tài)。同一能級(jí)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)數(shù)目稱為這一能級(jí)的簡(jiǎn)并度。(,2)]s i n ()[ s i n (c o ss i n。8yyyyn y n hy S in E nbb mb?? ??? ? ? ?????223 22( ) , , 1 , 2 , 。 2228nhEma?能量 E必須滿足 2 mE an ???即 意義：為滿足邊界條件，粒子的能量只能是 的整數(shù)倍，即能量是量子化的。這種粒子組成的體系，其波 函數(shù)必須是對(duì)稱的。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 1. 力學(xué)量平均值定理 * ?MMd? ? ?? ? ? ?體系任何狀態(tài)的波函數(shù) ψ中，任何力學(xué)量 M的平均值 M均可表示為： * * * * ***? ?M M = =i i j j i i j j ji j i ji j j i jijd C C d C C m dC C m d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?* , 1, ,0iji j i jijijd ij?? ? ? ? ?????? ? ?????若若 因： Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c考慮到 ψ的正交歸一化性質(zhì)： 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) * * *?M i j j i i ii j id C C m C C m? ? ? ??? ? ??因此 討論： (1) 本征態(tài)力學(xué)量的平均值： 若 m1, m2, …… , mn 分別為本征態(tài) ψ1, ψ2, …… , ψn對(duì)應(yīng)力學(xué)量 M的本征值，則當(dāng)體系處于 ψ所描述的狀態(tài)且 ψ已歸一化時(shí)，力學(xué)量 M的平均值為： ???n1ii2i mcM證明：由條件可知， ；而 iiiM? ?? m?Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c僅是體系一個(gè)可能的狀態(tài)，但非本征態(tài)，故對(duì)于 ψ所描述的狀態(tài)，力學(xué)量 M沒有確定值，而是有一個(gè)分布，即平均值。描述定態(tài)的 Ψ(x， y， z， t)必定具有下列形式 ω—— 常數(shù)。 ? ?)(B?A?)(C? xuxu ? B?A?C? ?? A?A?A? 2 ?。 對(duì)于單個(gè)粒子體系 ， 在整個(gè)空間找到粒子的幾率應(yīng)當(dāng)?shù)扔?1， 即 由此可以求得常數(shù) K 22( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1w x y z t d K x y z t d K x y z t d? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?21( , , , )Kx y z t d????? 歸一化關(guān)系式 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) Ψ乘以 而得到 Φ的過程稱為歸一化。 通過布拉格公式即可算出電子波的波長(zhǎng) λ。 二、光的粒子說 1. 光電效應(yīng) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2. Einstein光子說 ① 光的能量量子化： 每種頻率的光的都有一個(gè)最小單位 —— 光量子 ，或光子 ， 記為 E0= 。 光的衍射現(xiàn)象同時(shí)證明，波動(dòng)說所預(yù)言的光在密介質(zhì)中的傳播速度比在疏介質(zhì)中慢。這就成功解釋了光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。 2. 微觀體系 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、舊量子論的局限 1. 黑體輻射 第一節(jié) 經(jīng)典物理學(xué)與舊量子論的局限 167。在 v=0時(shí)物體的質(zhì)量 稱為靜止質(zhì)量（ m0）， 。用這一觀點(diǎn)可以很好的解釋黑體輻射現(xiàn)象。例如：① Bohr理論可以很好解釋氫原子和類氫離子光譜，但推廣到多電 子分子或原子時(shí)不適用； ② 定態(tài)不發(fā)出輻射的假定與經(jīng)典理論矛盾； ③ 量子化的條件無理論基礎(chǔ)，比較生硬； ④ 舊量子論推出周期表中第一周期應(yīng)有 6個(gè)元素，但事實(shí)只有 2個(gè)； …… 以上種種導(dǎo)致舊量子論的失敗。 以上種種使光的電磁波理論獲得了極大成功，于是光的波動(dòng)說又發(fā)展成為光的電磁理論，并戰(zhàn)勝了當(dāng)時(shí)盛極一時(shí)的粒子說。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、光的本質(zhì) 1. 光是物質(zhì) 2. 光的波粒二象性 光在與實(shí)物粒子的相互作用中表現(xiàn)為粒子性，光也不是經(jīng)典力學(xué)中的粒子，但具有經(jīng)典概念中粒子的某些性質(zhì)。 4 量子力學(xué)的基本假設(shè) 一、波函數(shù)和微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述 假設(shè) Ⅰ ：對(duì)于一個(gè)微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波 函數(shù) Ψ(x,y,z,t)表示， Ψ是坐標(biāo) (x,y,z,t)的函數(shù)，同時(shí) 也是時(shí)間 t的函數(shù)。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 同樣可以很容易求出角動(dòng)量 L及其在球坐標(biāo)系中三個(gè)分量 Lx、 Ly、 Lz的算符及角動(dòng)量平方 L2算符的表達(dá)式： ? ? ? ? ? ? zyxxyxzyzzyxLkLjLiyPxPkzPxPjzPyPiPPPzyxkjiPrL???????????????????????????????????????????????????????????????yzzyiyizziyPzPyL yzx ?????????????? ??????? zxxziL y ?????????????????xyyxiL z ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系 θ ： 0 ~ π φ： 0 ~ 2π r ： 0 ~ ∞ ? ? 21222 zyxr ????tgxy ?????? c o s 。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨA?A?本征函數(shù)正交性定理 Ⅱ ： 屬于同一厄米算符 相同本征值 an的不同本征函數(shù)系列 {Ψn1， Ψn2， …… ， Ψnf}任意線性組合為 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+ …+ cfΨnf后， Ψn仍然是 屬于同一本征值 an的本征函數(shù)。 (2) 定態(tài)是不依賴 t的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是原子、分子中電子最可能的狀態(tài)，不顯含 t的 ψ可以解釋微觀現(xiàn)象中大量的定態(tài)性質(zhì)。 ψ究竟是對(duì)稱還是反對(duì)稱則由粒子自身的性質(zhì)決定。 39。 節(jié)點(diǎn)數(shù) =n1. 當(dāng) n=1 n=2 n=3…… 時(shí) 節(jié)點(diǎn)數(shù) = 0 1 2 …… 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、三維勢(shì)箱中的粒子 在箱內(nèi) V=0，粒子被束縛在邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c的 箱內(nèi)； 在箱外 V = ∞ 。 222() xx S inaa?? ???? ????解： (1) 一維箱中 V = 0， ， 將其作用到 ψ2(x)上 222H?dxdm???222() ()2dx Exm d x? ?? ? ?代入邊界條件： x ≤ 0和 x ≥ a時(shí)， ψ(x)=0可得： 2228nnhEma?所以能量 E有確定值。需計(jì)算其平均值 (4) 將動(dòng)量平方算符 作用到 ψ2(x)上，得 2222P?dxdx ???)(2s i n2422s i n2)(P? 22222222222 xahaxaahaxadxdxx ???? ??????? ????????????? ???????? ?因此動(dòng)量 Px2具有確定值，為 22ah第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 例題 2： 粒子在一維箱中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由 ψ(x)描述，求粒子的能量或能量平均值。dinger方程： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22222 2 2, , , , , , , , 02x y z x y z x y z E V x y zm x y z??? ?????? ? ? ? ? ???? ? ???? ?, , 0x y z? ?在箱子外部，因?yàn)?V = ∞， 。22() m E m Ex A B C o s x A B iS in x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?上式也可寫作 ? ?39。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. Fermi子和 Bose子 Fermi子 —— 電子、質(zhì)子、中子等自旋量子數(shù) s為半整數(shù)的粒子。dinger方程 三維箱中粒子的 Schr246。 1)( )( ii n*n ??? dxxΨxΨ 有相同定義域和相同自變量，并滿足邊界條件的連續(xù)函數(shù)的任意線性組合 就構(gòu)成了該函數(shù)的完備系列 {Ψn(x